A佳教育大联盟2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

A佳教育大联盟2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（）A. B.C. D.2．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（）A. B.C. D.3．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围A. B.C. D.4．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则平分C.若，则 D.若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线5．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为=6.3x+6.8，下列说法正确的是（）x23456y1925★4044A.看不清的数据★的值为33B.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨C.据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨D.回归直线=6.3x+6.8恰好经过样本点（4，★）6．若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为()A. B.C. D.7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）A. B.C. D.8．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个A.12 B.24C.36 D.489．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且的最大值为，则椭圆离心率为（）A. B.C. D.10．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点.乙：该圆半径为.丙：该圆的圆心为.丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁11．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，点在上，且，则直线的斜率为A. B.C. D.12．已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为，则m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知球的半径为3，则该球的体积为_________.14．正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为___________.15．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.16．已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，已知，且当，时，（1）证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和18．（12分）已知圆：与x轴负半轴交于点A，过A的直线交抛物线于B，C两点，且.（1）证明：点C的横坐标为定值；（2）若点C在圆内，且过点C与垂直的直线与圆交于D，E两点，求四边形ADBE的面积的最大值.19．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.20．（12分）已知数列是等差数列，（1）求的通项公式；（2）求的最大项21．（12分）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若时，对任意都有恒成立，求实数的最大值22．（10分）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.（1）证明：直线的方程为.（2）设为双曲线的左焦点，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，则，当时，在上单调递减，在上单调递减，所以，，故.故选：A.2、B【解析】设，得到，利用椭圆的范围求解.【详解】解：设，则，，，因为，所以，即，故选：B3、A【解析】根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.【详解】曲线表示交点在轴的椭圆，，解得：.故选A【点睛】本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.4、D【解析】根据求出焦点为、点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，由两点间的距离公式求出可判断AC；时可得，．由可判断B；求出点坐标可判断D.【详解】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以，直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得，解得或，所以，所以，选项A错误；时，因为，所以．又，，所以不平分，选项B不正确；若，则，C的焦点为，因为，所以，直线的方程为，所以，所以，选项C错误；若，则，C的焦点为，因为，所以，直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则，所以D，B，N三点共线，选项D正确；故选：D.5、D【解析】根据回归直线方程的性质和应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为，将代入，故，∴，故A错误；对，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故错误；对，当时，，故错误；对，因为，故必经过，故正确.故选：.6、A【解析】用点差法即可获解【详解】设.则两式相减得即因为,线段AB的中点为,所以所以所以直线的方程为,即故选:A7、A【解析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.8、D【解析】设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.【详解】设等比数列的首项为，公比，由题意得：，即，解得，所以，故选：D9、A【解析】根据椭圆的定义可得，从而得到，则，其中，再根据对勾函数的性质求出，即可得到方程，从求出椭圆的离心率；【详解】解：依题意，所以，又，所以，因为在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故选：A10、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.故选：D11、B【解析】根据抛物线的定义，求得p的值，即可得抛物线，的标准方程，求得抛物线的焦点坐标后，再根据斜率公式求解.【详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为．故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置.12、A【解析】先求得样本中心，代入回归方程，即可得答案.【详解】由题意得，又样本中心在回归方程上，所以，解得.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；故答案为：14、【解析】分别计算，，作差得到答案.【详解】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为，，，故.故答案为：.15、【解析】根据题意，列方程计算即可【详解】因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.故答案为：16、【解析】设过M的切线切点为，求出切线方程，参变分离得，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出m的范围【详解】，设过点的直线与曲线相切于点，则，化简得，，令，则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点∵，故当x<0或x>1时，，g(x)单调递增；当0<x<1时，，g(x)单调递减，又，，∴g(x)如图，∴-2<-m-2<0，即故答案为：﹒三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留数列的递推关系，根据题干提示来证明，注意证明首项不是零；（2）利用裂项求和来解决.【小问1详解】证明：由题意，当时，即，，整理，得，，，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】解：由（1）知，，则，，，，，各项相加，可得，当n=1成立，故18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，设，，结合，得到，结合根与系数的关系，即可解得答案；（2）根据（1）所设，表示出弦长，再求出，进而表示出四边形ADBE的面积，据此求其最大值,【小问1详解】由题意知点的坐标为，易知直线的斜率存在且不为零，设直线：，，，联立，得，则，即，由韦达定理得，由，即，得，即，代入，得或，又抛物线开口向右，，所以点的横坐标为定值.【小问2详解】由（1）知点的坐标为，故，由（1）知点的坐标为，由点在圆内，得，解得，又，得的斜率，故的方程为，即，故圆心到直线的距离为，由垂径定理得，故，（），当且仅当时，有最大值，所以四边形的面积的最大值为.19、（1）；（2）【解析】（1）根据条件求出即可；（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】（1）且，，（2）20、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式进行求解即可；（2）运用二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，所以有，所以；【小问2详解】由（1）可知：，当时，有最大项，最大项为：.21、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）利用导数与单调性的关系分类讨论即得；（2）由题可得在上恒成立，构造函数，利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】的定义域为，且当时，显然，在定义域上单调递增；当时，令，得则有：极大值即在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，，对于满足恒成立，在上恒成立，令，只需∴，，，令，则，在上单调递增，又，，存在唯一的，使得，即，两边取自然对数得，极小值，则的最大值为22、（1）证明见解析（2）证明见