江苏省南京市鼓楼区2017-2018学年高一上期期中考试数学试题

20172018鼓楼区高一上学期数学期中试卷1.若集合则__________．【答案】【解析】，，故答案为.2.函数的定义域为__________．【答案】【解析】要使有意义，令，解得，即的定义域为，故答案为.3.计算：__________．【答案】【解析】由换底公式可得，故答案为．4.计算：__________．【答案】【解析】，故答案为.5.已知函数，分别由下表给出：则__________．【答案】【解析】由表格数据可得，，所以，故答案为．6.化简式子的结果是__________．【答案】【解析】因为，，所以又因为结果一定非负，所以，故答案为．7.函数的值域是__________．【答案】【解析】因为，所以函数单调递减，所以值域为，即函数的值域是，故答案为．8.已知，则幂函数的图象不可能经过第__________象限．【答案】二、四【解析】当或时，图象经过一、三象限，当时，图象经过第一象限，幂函数的图象不可能经过第二、四象限，故答案为二、四．9.设实数，，则，，的大小关系为__________，（按由小到大的顺序排列）．【答案】【解析】因为幂函数是单调递增函数，所以，又因为指数函数是单调递增函数，所以，即，故答案为．【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为开口向下的二次函数在对称轴右边区间上单调递减，二次函数函数的对称轴为，因为函数在区间上单调递减，所以，所以，实数的取值范围是，故答案为．【方法点晴】本题主要考查利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．11.已知偶函数在区间上单调递增，则满足不等式的的取值范围是__________．【答案】【解析】偶函数关于轴对称，所以在区间上单调递减，则满足不等式的的取值范围，也就是的的取值范围，即，，即的取值范围是，故答案为．【方法点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12.若，则的最大值是__________．【答案】【解析】对，等号两边同时取对数，得，即，利用换元法，令，则，代入，由二次函数的配方，，即的最大值是，故答案为．13.已知函数，则关于的下列结论：①②是奇函数③在上是单调递增函数④对任意实数，方程都有解，其中正确的有（填写序号即可）__________．【答案】①②④【解析】∵，，∴所以函数是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是上的单调递减函数，是上的单调递减函数，由函数单调性的性质，所以在上单调递减，③不正确；因为函数值域为，所以对任意实数，方程都有解，④正确，故答案为①②④．14.已知，函数在区间上的最大值是，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意知，，，故，①时，，故符合题意；②时，，且，∴，故，故符合题意；③时，，，且，∴，故，故不符合题意；④时，，故不符合题意．综上所述：的取值范围是，故答案为.............【方法点睛】本题主要考查函数的解析式和函数的最值、以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.15.若集合，，（）求．（）已知函数的定义域为，求．【答案】（）．（）或．【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法化简集合或，由集合交集的定义可得结果；（）要使函数有意义可得，结合（1），由补集的定义可得结果.试题解析：（）由题意知：或，故．（）由题意知：，由（1）知，∴或．【名师点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，求集合的交集与补集的混合运算，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.16.已知是偶函数，且时，．（）求的解析式．（）若在区间上的最小值是，求实数的值．【答案】（）．（）．【解析】试题分析：（）当时，，于是，又由于是偶函数，∴，可得当时，，从而可得结果；（）根据二次函数对称轴两边的单调性，分两种情况讨论的范围，利用单调性列方程可得实数的值.试题解析：（）当时，，∴，又由于是偶函数，∴，故：当时，，故：．（）由题意知：当时，，∴若，，不符合题意，故：．又在内单调递减，故：，解得：，（舍）．综上所述：．17.已知函数．（）求证：是奇函数．（）已知，且，试求的值．【答案】（）用定义证明．（）．【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，可得定义域关于原点对称，再由，可得是奇函数；（）设，先证明为奇函数，则，即，可得.试题解析：（）由题意知：，解得的定义域为：，定义域关于原点对称．，故：是奇函数．（）设由（）知，为奇函数，∴，即，解得：．【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.18.某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（单位：元）与月处理量（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（）求时，该项目的月处理成本．（）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？【答案】（）元．（）不能；．【解析】试题分析：（1）将代入项目月处理成本（单位：元）与月处理量（单位：吨）之间的函数关系式，即可求得结论；（2）确定当时，该项目获利函数为利润，再利用配方法，即可求得结论.试题解析：（）当时，，∴时，该项目的月处理成本为元．（）当时，化简得：，为单调递增函数，故此时，∴该项目不能获利；当时，，当时，，故补偿金额的范围是．19.（）求函数的零点．（）试确定关于的方程的解的个数．（）如果（）的解记为，且，，那么的值是多少？【答案】（），．（）．（）．【解析】试题分析：（1）方程的根就是函数的零点，解方程即可的结果；（）设，，求方程的解，可以等价求、的交点，利用数形结合思想可得结果；（）设，可得，，，根据零点定理可得结果.试题解析：（）令，解得：，．（）设，，求方程的解，可以等价求、的交点，由函数图象易知，、有一个交点，故有解．（）设，∵，，∴由零点定理知，在必有零点，故．20.已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．（）求，的值．（）当时，函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围．（）定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，．试判断函数是否为“上的函数”．若是，则求出的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．【答案】(1);(2);(3)详见解析．【解析】试题分析：（1）将点，，代入，列方程组求解即可得结果；（）结合（1）可得函数的图像恒在函数