河北省秦皇岛市部分示范高中高三下学期三模试题数学

数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.已知函数，，则如图所示的函数图像可能是（）A. B.C. D.4.已知等比数列的前项和为，满足，，则的公比为（）A. B.2 C.3 D.45.若的展开式中含项的系数为10，则的值是（）A.3 B.4 C.5 D.66.已知复数，满足，，则（）A.3 B. C. D.7.已知正数，，满足，则（）A. B. C. D.8.已知函数在上单调，的图像关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.美国数学史专家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的《TheMathematicalUniverse》一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释，很难比它更优雅了”.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（）A. B. C. D.10.双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，分别以线段，为直径作圆，圆，线段与圆相交于点，其中为坐标原点，则（）A.B.C.点为圆和圆的另一个交点D.圆与圆有一条公切线的倾斜角为11.在正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面，平面所成角分别为，，则（）A.的正负与点，位置都有关系B.的正负由点位置确定，与点位置无关C.的最大值为D.的最小值为第II卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，为平面向量，若为单位向量，，与的夹角为，则与的数量积为______13.从0，2，4，6中任意选1个数字，从1，3，5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数，在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为______14.已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为______四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的外接圆半径为.（1）求的面积；（2）求边上的高.16.（15分）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.（1）在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；（2）若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.17.（15分）已知椭圆：的离心率为，过点的直线交于点，，且当轴时，.（1）求的方程（2）记的左焦点为，若过，，三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的斜率.18.（17分）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量，得到数组.已知，，.（1）求样本的样本相关系数；（2）假设该植物的寿命为随机变量（可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.（i）求的表达式；（ii）推导该植物寿命期望的值（用表示，取遍），并求当足够大时，的值.附：样本相关系数；当足够大时，.19.（17分）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，，…，（注：，，，，…）.已知函数.（1）求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数（精确到0.001）；（2）在（1）的条件下（i）求证：；（ii）若恒成立，求的取值范围.

参考答案及解析一、选择题1.D2.D3.A4.C5.B6.D7.A8.B二、选择题9.ACD 10.BCD 11.BD三、填空题12. 13. 14.21四、解答题15.解：（1）在中，，，根据余弦定理得，即，所以，所以，所以.（2），所以.16.解：（1）过点作，交圆与点，（，分别为，的中点，所以，又，所以，故为平面与平面的交线）因为是圆的直径，所以，又，所以，所以四边形为矩形，因为，，所以，因为平面，为的中点，所以点到平面的距离为，所以.（2）以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，.设平面的法向量为，则即不妨取，得.因为与平面所成角的正弦值为，所以，所以，所以或.17.解：（1）当轴时，，所以点在上，依题意解得，，，所以的方程为.（2）设圆心，，，，显然直线的斜率存在，设：，由，得，又，代人得到，同理可得，则，分别是方程的两根，由韦达定理可得.又联立：与，得，所以，所以故，解得，故直线的斜率为.18.解：（1）由，，，得样本相关系数.（2）（i）依题意，，又，则，当时，把换成，则，两式相减得，即，又，所以对任意都成立，从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，所以.（ii）由定义知，，而，显然，于是，两式相减得，因此，当足够大时，，则，可认为，所以该植物寿命期望的值是10.19.（1）解：由题可知函数在处的阶帕德近似为，，，由，得，所以，则，又由，得，所以，由，得，所以，所以.（2）（i）证明：令，，因为，所以在，上单调递减.当时，，即，又，所以