四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

仁寿一中南校区2023级高一下半期考试数学科试题2024年4月24日第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解.【详解】函数、的最小正周期为，AC不是；函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是.故选：B2.sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（）A. B.－ C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式可得答案.【详解】sin53°cos23°－cos53°sin23°=.故选：A.3.点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（）A.点P在线段AB上B.点P在线段AB延长线上C.点P在线段AB反向延长线上D.点P在直线AB外【答案】C【解析】【分析】由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.【详解】∴点P在线段AB反向延长线上故选：C.4.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的单调性可比较，再利用与1的大小关系即可求解.【详解】因为函数在上单调递增，所以，又，故有，故选：D.5.计算（）．A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】切化弦后根据二倍角公式及辅助角公式化简即可求值.【详解】．故选：C【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，涉及二倍角公式，两角和差正弦、正切公式，切化弦的思想，属于中档题.6.在中，角所对的边分别为，向量，若，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用向量平行坐标运算得，再利用正弦定理结合两角和正弦公式进行边角转化，求解即可.【详解】因为向量，且，所以，由正弦定理可得：，即，即，又，，故，由，解得.故选：C7.所在平面内一点满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，求得和的值，根据二倍角公式求解即可．【详解】，，，又，，．故选：B．8.已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用的奇偶性与单调性，结合换元法将问题转化为恒成立，再利用二次函数的性质即可得解.【详解】因为是在上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，即在上单调递增，由，得，所以，令，则，所以，即，因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，因为恒成立，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法正确的是（）A.若，是共线的单位向量，则B.若，是相反向量，则C.若，则向量，共线D.若，则点，，，必在同一条直线上【答案】BC【解析】【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解.【详解】对于A，，是共线的单位向量，则或，A错误；对于B，若，是相反向量，则，B正确；对于C，，即，则向量，共线，C正确对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误.故选：BC10.已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称【答案】AC【解析】【分析】先通过条件求出，再利用三角函数的性质逐一判断选项对错.【详解】，向左平移个单位得，对于A：，A正确；对于B：当时，，函数在上不单调，则在区间上不单调，B错误；对于C：，的图象关于直线对称，C正确；对于D：，的图象不关于点对称，D错误.故选：AC.11.已知，，，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由同角三角函数的平方关系计算，和验证ABD选项；，由两角和的正弦公式计算验证C选项.【详解】，则，，，故A错误，D正确；，故B选项正确；，故C选项正确；故选：BCD12.中，下列说法正确的是（）A.若，则为锐角三角形．B.若，则点的轨迹一定通过的内心．C.若为重心，则D.若点满足，则【答案】BCD【解析】【分析】根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D．【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形，故A错误；选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致．若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；选项C：若为的重心，设边的中点为，则，故C正确；选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，于是有．又，则，故D正确．故选：BCD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.函数的最大值为________．【答案】##【解析】【分析】根据函数的单调性求得值域，即可求得最大值.【详解】因为在上单调递增，所以，所以的值域为，所以最大值为.故答案为：.14.已知与是两个单位向量，且向量与夹角为，则向量在向量上的投影向量为________．【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】向量在向量上投影向量为，故答案为：15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝，B＝,则2a+c的最大值为____．【答案】【解析】【详解】分析：由正弦定理可得得，化为即可得出．详解：由得，其中的最大值是．

故答案为．点睛：本题考查了正弦定理、两角和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.在中，角，，所对边分别为，，，，若表示的面积，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，由余弦定理得，所以，令，对于函数，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正切函数两角和公式直接计算即可；（2）利用正弦和余弦的二倍角公式结合同角三角函数关系求解即可.【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】由题意得，分子分母同除得.故原式.18.已知向量满足，，且.（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解；（2）先数量积知识求出，的值，然后利用数量积的夹角公式求解即可.【小问1详解】因为，所以，即，解得，若，则，即，即，解得.【小问2详解】因为，又，所以，即与的夹角的余弦值为.19.在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判断的形状．【答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入给定等式计算作答.（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.【小问1详解】在中，由及余弦定理得，而，所以.【小问2详解】由，及，得，所以.【小问3详解】由及，得，则，由（1）知，所以为正三角形.20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值.【答案】（1）.（2），最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）先利用两角和与差的正弦公式、辅助角公式得出；再根据正弦型函数的周期公式即可求解.（2）先根据函数图象的变换规律得出函数的解析式；再结合正弦函数的单调区间及单调性即可求解.【小问1详解】，则函数的最小正周期为.【小问2详解】根据图象变换可得：.令，解得：，则的单调减区间为.令则.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；且当时，；当时，；当时，.所以函数在区间上的最大值为，最小值为.21.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①是的平分线；②D为线段的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【答案】（1）（2）选择①②，答案均为【解析】【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；（2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积；选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积.【小问1详解】由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴．【小问2详解】若选①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，联立得，解得，（舍去），∴．若选②：因为，所以，即，得，中，由余弦定理得，即，联立，可得，∴．22.在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且.（1）当且，设PQ与AB交于点M