高三数学（理）一轮复习教师用书第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为eq\a\vs4\al(∈)；不属于，记为eq\a\vs4\al(∉).(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号eq\a\vs4\al(N)eq\a\vs4\al(N*)或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x0∈B，x0∉AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B(B≠∅)∅3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔Beq\a\vs4\al(⊆)A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝eq\a\vs4\al(U)；A∩(∁UA)＝eq\a\vs4\al(∅)；∁U(∁UA)＝eq\a\vs4\al(A)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(4)任何一个集合都至少有两个子集．()(5)若AB，则A⊆B且A≠B.()(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：选A由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析：选A由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．4．(2017·北京高考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁UA＝()A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C由已知可得，集合A的补集∁UA＝[－2,2]．5．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.答案：1或46．已知集合P＝{2,3,4,5,6}，Q＝{3,4,5,7}，若M＝P∩Q，则M的子集个数为________．解析：由题意可知，M＝{3,4,5}，故M的子集个数为23＝8.答案：8eq\a\vs4\al(考点一集合的基本概念)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及元素与集合之间的关系及根据集合中元素的特性特别是集合中元素的互异性，来确定集合元素的个数或求参数值，属于基础题.1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.2．(2018·南昌模拟)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B因为a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.当a＝1时，若b＝3，则x＝4；若b＝4，则x＝5；若b＝5，则x＝6.同理，当a＝2时，若b＝3，则x＝5；若b＝4，则x＝6；若b＝5，则x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，则P中的元素共有4个．3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意．当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的值为0或eq\f(9,8).4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：选C因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，所以a≠0，a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.5．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq\f(3,2)，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)[怎样快解·准解]1．与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．常见易错探因第2题，第5题易忽视集合中元素的互异性而导致错误；第3题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．eq\a\vs4\al(考点二集合间的基本关系)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)集合间的关系有相等、子集(包含真子集)等，其中子集是高考考查重点，要能准确判定一个具体集合是否是另一个具体集合的子集．多以选择题形式出现，属于基础题．(一)直接考——两集合间基本关系的判断1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则()A．B⊆A B．A＝BC．AB D．BA解析：选C由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.2．(2018·烟台调研)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,4)＋\f(π,4)，k∈Z))))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,8)＋\f(π,4)，k∈Z))))，则()A．M∩N＝∅ B．M⊆NC．N⊆M D．M∪N＝M解析：选B由题意可知，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝eq\f(2k＋4π,8)－eq\f(π,4)，k∈Z))))，＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2nπ,8)－\f(π,4)，n∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2kπ,8)－\f(π,4)或，x＝eq\f(2k－1π,8)－eq\f(π,4)，k∈Z))))，所以M⊆N，故选B.3．(2018·云南第一次检测)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与B的关系是()A．B⊆A B．B⊇AC．B∈A D．A∈B解析：选A因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>eq\f(5,2))))).在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，可知，B⊆A.[题型技法]判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第1题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第2题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第3题)(二)迁移考——利用集合间关系求参数4．(2018·云南师大附中模拟)集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4] B．(－∞，4)C．[0,4] D．(0,4)解析：选B集合A就是不等式x2－a≤0，即x2≤a的解集．①当a<0时，不等式无解，故A＝∅.此时显然满足A⊆B.②当a＝0时，不等式为x2≤0，解得x＝0，所以A＝{0}．显然{0}⊆{x|x<2}，即满足A⊆B.③当a>0时，解不等式x2≤a，得－eq\r(a)≤x≤eq\r(a).所以A＝[－eq\r(a)，eq\r(a)]．由A⊆B可得，eq\r(a)<2，解得0<a<4.综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{0}∪(0,4)＝(－∞，4)．故选B.5．已知a∈R，b∈R，若{a，ln(b＋1)，1}＝{a2，a＋b,0}，则a2018＋b2018＝________.解析：由已知得a≠0，ln(b＋1)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2018＋b2018＝1.答案：16．已知集合A＝{x|1≤x<5}，B＝{x|－a<x≤a＋3}，若B⊆(A∩B)，则a的取值范围为________．解析：因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A.①当B＝∅时，满足B⊆A，此时－a≥a＋3，即a≤－eq\f(3,2)；②当B≠∅时，要使B⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<a＋3，,－a≥1，,a＋3<5，))解得－eq\f(3,2)<a≤－1.由①②可知，a的取值范围为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][题型技法]利用集合间关系求解参数问题的策略化简要分类若参数在元素的性质特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出现，此时要对其进行合理分类，分类的主要依据就是参数对该不等式的对应方程的解的影响．分类的主要层次为：①最高次幂系数是否为0；②方程是否有解；③解之间的大小关系．(如第4题)关系要分类已知两个集合之间的关系求参数的取值，要注意对集合是否为空集进行分类讨论，因为∅是任意一个集合的子集．(如第6题)“端点”要取舍利用集合之间的子集关系确定参数所满足的条件，实际上就是比较两个区间端点值的大小关系，所以集合对应区间的端点的取舍对两个集合之间的关系有制约作用，这也是区分子集与真子集的关键．如已知A＝(1,3]，B＝[a，b](a<b)，若B⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,b≤3；))若A⊆B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,b≥3))eq\a\vs4\al(考点三集合的基本运算)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)集合的基本运算是历年高考的热点.高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解不等式、求函数定义域和值域等知识相结合，考查题型主要是选择题，偶尔也出现填空题，属于基础题.[典题领悟]1．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩B＝()A．(1,2) B．[1,2)C．(2,5] D．[2,5]解析：选C由x2－6x＋5≤0的解集为{x|1≤x≤5}，得A＝[1,5]．由x－2>0，解得x>2，故B＝(2，＋∞)．把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知A∩B＝(2,5]．2．(2018·湖南湘潭模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x||x|<1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U(M∪N)＝()A．(－∞，－1] B．(－1,2)C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选A解|x|<1，得－1<x<1，所以M＝(－1,1)．集合N中的代表元素为y，所以该集合是函数y＝2x，x∈R的值域，即N＝(0，＋∞)．从而M∪N＝(－1，＋∞)．因为U＝R，所以∁U(M∪N)＝(－∞，－1]，故选A.3.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.[解题师说]1．掌握“4种技巧”(1)先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．如求集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))的补集，要先进行化简，若直接否定集合P中元素的性质特征，就会误以为∁RP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)≥1))))，导致漏解．(2)遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．(3)活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U(M∩N)＝(∁UM)∪(∁UN)，∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)等简化运算，减少运算量．(4)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(如典题领悟第1题)2．谨防“2种失误”(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．(如典题领悟第2题)(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解．(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)[冲关演练]1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选BA∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．2．(2018·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a≤x≤2a－1))))，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)解析：选A因为A∩B≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≥1，,2a－1≥\f(1,2)a，))解得a≥1.3．(2018·皖北协作区联考)已知集合A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：选D因为A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).eq\a\vs4\al(考点四集合的新定义问题)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)以集合为载体的新定义问题，是高考命制创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新性质、新法则等，一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或偏上.[典题领悟]1．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{－1,1,2,3}，定义A#B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(z＝\f(x,y)，x∈A，y∈B))))，则A#B中元素的个数是()A．5 B．7C．10 D．15解析：选B因为x∈A，所以x可取－1,0,1；因为y∈B，所以y可取－1,1,2,3.则z＝eq\f(x,y)的结果如下表所示：yx－1123－11－1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)000001－11eq\f(1,2)eq\f(1,3)故A#B中元素有－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，0，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，1，共7个，故选B.2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))；②M＝{(x，y)|y＝log2x}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是()A．①④ B．②③C．③④ D．②④解析：选C记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sinx＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.3．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7 B．10C．25 D．52解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：yx－101230(0，－1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1，－1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)所以A*B中的元素共有10个．[解题师说]与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．[冲关演练]1．定义集合的商集运算为eq\f(A,B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B))))，已知集合A＝{2,4,6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，则集合eq\f(B,A)∪B中的元素个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B由题意知，B＝{0,1,2}，eq\f(B,A)＝0，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，1，eq\f(1,3)，则eq\f(B,A)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7个元素，故选B.2．(2018·武昌调研)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝()A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}解析：选D因为A＝{x∈N|0≤x≤5}，所以A＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x2－7x＋10<0，即(x－2)(x－5)<0，得2<x<5.所以B＝(2,5)．因为A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，而3,4∈B,0,1,2,5∉B，所以A－B＝{0,1,2,5}，故选D.3．(2018·广东揭阳一模)非空数集A若满足：(1)0∉A；(2)若∀x∈A，有eq\f(1,x)∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－4x＋1<0}；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(lnx,x)，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))∪1，e]))))；④eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2,5)，x∈[0，1，,x＋\f(1,x)，x∈[1，2].)))))).其中“互倒集”的个数是()A．4 B．3C．2 D．1解析：选C对于①，当－2<a<2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x|x2－4x＋1<0}＝{x|2－eq\r(3)<x<2＋eq\r(3)}，所以eq\f(1,2＋\r(3))<eq\f(1,x)<eq\f(1,2－\r(3))，即2－eq\r(3)<eq\f(1,x)<2＋eq\r(3)，所以②是“互倒集”；对于③，y′＝eq\f(1－lnx,x2)≥0，故函数y＝eq\f(lnx,x)是增函数，当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))时，y∈[－e,0)，当x∈(1，e]时，y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，所以③不是“互倒集”；对于④，y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(12,5)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(5,2)))且eq\f(1,y)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(5,2)))，所以④是“互倒集”，故选C.(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．(2017·山东高考)设函数y＝eq\r(4－x2)的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选BA，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B.3．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))))，则集合A中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选C∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3 B．6C．8 D．10解析：选D由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，所以集合B有10个元素．5．已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．AB B．BAC．A⊆B D．B＝A解析：选B因为A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故选B.6．已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1＜22－x＜4}，若A∩B＝{1,2m}，则实数A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(0,1)解析：选C因为B＝{x|1＜22－x＜4}，所以B＝{x|0＜2－x＜2}，所以B＝{x|0＜x＜2}．在数轴上画出集合B，集合A∩B，如图1或图2所示，从图中可知，0＜2m＜1或1＜2m＜2，解得0＜m＜eq\f(1,2)或eq\f(1,2)＜m＜1，所以实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).故选C.7．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＜1，,3－a2≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜a＜3，,a≤2或a≥4，))所以1＜a≤2.答案：(1,2]9．设A，B为两个集合，下列四个命题：①A⃘B⇔对任意x∈A，有x∉B；②A⃘B⇔A∩B＝∅；③A⃘B⇔B⃘A；④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是________．解析：如果对任意x∈A，有x∈B，则A⊆B，若A中至少有一个元素不在B中，即存在x∈A，使得x∉B，则A不是B的子集．所以④是真命题．答案：④10．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.答案：(4，＋∞)B级——中档题目练通抓牢1．(2018·湘中名校高三联考)已知集合A＝{x|x2－11x－12＜0}，B＝{x|x＝2(3n＋1)，n∈Z}，则A∩B等于()A．{2} B．{2,8}C．{4,10} D．{2,8,10}解析：选B因为集合A＝{x|x2－11x－12＜0}＝{x|－1＜x＜12}，集合B为被6整除余数为2的数．又集合A中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A∩B＝{2,8}，故选B.2．(2018·河北衡水中学月考)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：选A由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．3．已知全集U＝A∪B中有m个元素，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB))中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB))中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．4．(2018·贵阳监测)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}5．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m>0时，∵A＝{x|－1<x<3}．当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))∴0<m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁UB)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)．7．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值．(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.解：(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋c×3＋15＝0，解得c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9.(2)不等式ax2＋bx＋c≤7，即为6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－eq\f(5,2)≤x≤1，所以P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)≤x≤1))))，所以P∩Z＝{－2，－1,0,1}．C级——重难题目自主选做1．对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知非空集合M＝{x|a＜x＜b}，N＝{x|c＜x＜d}，其中a，b，c，d满足a＋b＝c＋d，ab＜cd＜0，则M⊕N＝()A．(a，d)∪(b，c) B．(c，a)∪(d，b)C．(c，a)∪[b，d) D．(a，c]∪[d，b)解析：选D由M＝{x|a＜x＜b}，得a＜b.又ab＜0，∴a＜0＜b.同理可得c＜0＜d，由ab＜cd＜0，c＜0，b＞0可得eq\f(a,c)＞eq\f(d,b)，∴eq\f(a－c,c)＞eq\f(d－b,b).又∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，∴eq\f(d－b,c)＞eq\f(d－b,b)，∵c＜0，b＞0，∴d－b＜0，因此a－c＜0，∴a＜c＜0＜d＜b，∴M∩N＝N，∴M⊕N＝{x|a＜x≤c或d≤x＜b}＝(a，c]∪[d，b)．故选D.2．已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．(1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．解析：(1)依题意设k＝10a＋b(a∈N*，b∈N)，则a＋b＝2，又a∈N*，b∈N，则a＝2，b＝0，故k＝20；(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，“衍生质数”为5的合数有14,32,50，“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A有7个元素，集合B有23个元素，故集合A∪B答案：2030(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，则集合A中的元素个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.2．已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．AB B．BAC．A⊆B D．B＝A解析：选B因为A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA.3.(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为()A．147 B．140C．130 D．117解析：选B由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.4.(2018·河北衡水调研)已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：选DA＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2.5.(2018·河北正定中学月考)已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝()A．－5 B．5C．－1 D．1解析：选AP＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.6．设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＜1，,3－a2≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜a＜3，,a≤2或a≥4，))所以1＜a≤2.答案：(1,2]7．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8.设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝______________.解析：由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．答案：{x|－3＜x≤－1}9.(2018·江西玉山一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．解：(1)∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．∵log2x>1，即log2x>log22，∴x>2，∴B＝{x|x>2}．∴A∩B＝{x|2<x≤3}．∴∁RB＝{x|x≤2}，∴(∁RB)∪A＝{x|x≤3}．(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是(－∞，3]．10．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值．(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.解：(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋c×3＋15＝0，解得c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9.(2)不等式ax2＋bx＋c≤7，即为6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－eq\f(5,2)≤x≤1，所以P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)≤x≤1))))，所以P∩Z＝{－2，－1,0,1}．B级——拔高题目稳做准做1．对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知非空集合M＝{x|a＜x＜b}，N＝{x|c＜x＜d}，其中a，b，c，d满足a＋b＝c＋d，ab＜cd＜0，则M⊕N＝()A．(a，d)∪(b，c) B．(c，a)∪(d，b)C．(c，a)∪[b，d) D．(a，c]∪[d，b)解析：选D由M＝{x|a＜x＜b}，得a＜b.又ab＜0，∴a＜0＜b.同理可得c＜0＜d，由ab＜cd＜0，c＜0，b＞0可得eq\f(a,c)＞eq\f(d,b)，∴eq\f(a－c,c)＞eq\f(d－b,b).又∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，∴eq\f(d－b,c)＞eq\f(d－b,b)，∵c＜0，b＞0，∴d－b＜0，因此a－c＜0，∴a＜c＜0＜d＜b，∴M∩N＝N，∴M⊕N＝{x|a＜x≤c或d≤x＜b}＝(a，c]∪[d，b)．故选D.2.设平面点集A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－x\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))))≥0))，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为()A.eq\f(3,4)π B.eq\f(3,5)πC.eq\f(4,7)π D.eq\f(π,2)解析：选D不等式(y－x)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))≥0可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≥0，,y－\f(1,x)≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤0，,y－\f(1,x)≤0.))集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图所示．曲线y＝eq\f(1,x)，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为eq\f(π,2).3.已知集合A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A∩B＝∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥1，,a＋1≤4，))所以2≤a≤3.答案：[2,3]4．(2018·贵阳监测)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}5.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)因为A∩B＝[0,3]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3.))所以m＝2.(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，因为A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6.若集合M＝{x|－3≤x≤4}，集合P＝{x|2m－1≤x≤m(1)证明M与P不可能相等；(2)若集合M与P中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．解：(1)证明：若M＝P，则－3＝2m－1且4＝m解得m＝－1且m＝3，不成立．故M与P不可能相等．(2)若PM，当P≠∅时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1<4，,m＋1≥2m－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<2m－1，,m＋1≤4，,m＋1≥2m－1，))解得－1≤m≤2；当P＝∅时，有2m－1>m＋1，解得m>2，即m≥若MP，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥2m－1，,4<m＋1，,m＋1≥2m－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3>2m－1，,4≤m＋1，,m＋1≥2m－1，))无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是PM，此时必有m≥－1，即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充要条件充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\a\vs4\al(⇒/)pA是B的真子集集合与充要条件的关系p是q的必要不充分条件peq\a\vs4\al(⇒/)q且q⇒pB是A的真子集p是q的充要条件p⇔qAeq\a\vs4\al(＝)Bp是q的既不充分也不必要条件peq\a\vs4\al(⇒/)q且qeq\a\vs4\al(⇒/)pA，B互不包含1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(5)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．3．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sinA>sinB，则eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件．4．(2018·唐山一模)若x∈R，则“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A当x>1时，eq\f(1,x)<1成立，而当eq\f(1,x)<1时，x>1或x<0，所以“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的充分不必要条件，选A.5．“若a<b，则ac2<bc2”解析：原命题：“若a<b，则ac2<bc2”，这是假命题，因为若c＝0时，由a<b，得到ac2＝bc2＝0，不能推出ac2<bc2逆命题：“若ac2<bc2，则a<b”，这是真命题，因为由ac2<bc2得到c2>0，所以两边同除以c2，得a<b，因为原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真命题的个数是2.答案：26．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．答案：必要不充分eq\a\vs4\al(考点一四种命题的相互关系及真假判断)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]四种命题的关系及其真假判断是高考的热点之一，一是对“若p，则q”形式命题的改写要熟练，二是弄清命题的四种形式之间的真假关系.一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题.1．(2018·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确解析：选D原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的，故选D.2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题解析：选A可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<2，显然为真．其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<2.3．命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”A．已知0<a<1，若x>0，则ax>1B．已知a>1，若x≤0，则ax>1C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则ax≤1解析：选C命题中，“已知a>1”是大前提，在四种命题中不能改变；“x>0”是条件，“ax>1”是结论．由于命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故该命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”[怎样快解·准解]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(如第2题逆命题的真假判断)(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．(如第2题原命题的真假判断)2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．(如第1题)(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．(如第3题)eq\a\vs4\al(考点二充分、必要条件的判断)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的热点.高考主要考查充分条件、必要条件的判断，常以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题.,充分条件、必要条件作为一个重要载体，考查的数学知识面较广，几乎涉及数学知识各个方面.[典题领悟]1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，当〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”2．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/0≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤13．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈peq\a\vs4\al(⇒/)綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．4．(2018·江西鹰潭中学月考)设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是()A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C依题意，f(x)>0⇔x2－4x>0⇔x<0或x>4.又|x－1|>1⇔x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2，而{x|x<0或x>4}{x|x<0或x>2}，因此选C.[解题师说]1．熟记判断充分、必要条件的3种方法方法解读适合题型定义法第一步，分清条件和结论：分清谁是条件，谁是结论；第二步，找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法．(如典题领悟第1题)等价法利用p⇒q与綈q⇒綈p；q⇒p与綈p⇒綈q；p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法．(如典题领悟第3题)集合法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况．(如典题领悟第2题及第4题)2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．[冲关演练]1．(2018·安徽两校阶段性测试)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选D∵当a≠0时，eq\f(a,2)＝eq\f(8,a)＝eq\f(－8,－a)⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.2．对于直线m，n和平面α，β，m⊥α成立的一个充分条件是()A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α解析：选C对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.3．(2018·湖南湘中名校联考)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A由log2(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒eq\f(3,2)<x<eq\f(5,2)，4x>8⇒2x>3⇒x>eq\f(3,2)，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.eq\a\vs4\al(考点三根据充分、必要条件求参数的范围)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查.关键是合理转化条件，熟练掌握函数的有关性质、不等式的解法等知识，在近几年的高考题中出现频率较低，但也要引起关注.[典题领悟]1．(2018·保定模拟)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－eq\f(3,2)x＋1))))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))2．(2018·石家庄模拟)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：法一：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，设A＝{x|x>10或x<－2}．由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，∴綈q对应的集合为{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，设B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴BA，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，又由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，NM，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)[解题师说]1．解题“2关键”(1)把充分、必要条件转化为集合之间关系．(2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．解题“1注意”求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(如典题领悟第2题)[冲关演练]1．(2017·湖北新联考四模)若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数A．[－3,3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]解析：选D∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－32．(2018·广州模拟)已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数aA．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]解析：选C由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p⇒/q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C依题意，若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，若B⊆∁UC，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁UC，故满足条件的集合