2023-2024学年广东省深圳市育才中学高二（下）第二次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省深圳市育才中学高二（下）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知f(x)=ex+sinx，则f′(0)=A.1 B.−1 C.2 D.02.对于相关系数r下列描述正确的是(

)A.两个变量相关则r>0

B.两个变量无关则r<0

C.r越小，表明两个变量线性相关性越弱

D.|r|越接近于1，表明两个变量线性相关性越强3.已知随机变量X的概率分布如表则E(5X+4)=(

)X124P0.4a0.3A.1 B.2.2 C.11 D.154.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是(

)A.36 B.72 C.600 D.4805.某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为f(x)=1σ2πe−(x−90)A.2000 B.3000 C.4000 D.50006.已知a=1+C2012+C2022A.0 B.1 C.2 D.37.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是(

)A.300 B.240 C.150 D.508.已知函数f(x)=x3−6x2+9x，若f(A.1<x1<2 B.x1+x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.在经验回归方程y=−0.65x+3.6中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y​平均减少3.6个单位

B.在经验回归方程y=−0.65x+3.6中，相对于样本点(1,2.8)的残差为−0.15

C.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差10.下列说法正确的是(

)A.若随机变量X服从两点分布且P(X=0)=14，则E(X)=38

B.X服从B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=13

C.有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为X，则其数学期望E(X)=3

D.某物理量的测量结果服从正态分布11.已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)A.0<k<1e B.x1x2=e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(x−1x)613.已知A，B分别为直线y=3x−3和曲线y=2ex+x上的点，则|AB|14.小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有X个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且P(X=i)=117，i=0，1，…，16.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|=16．

(1)求抛物线方程；

(2)若|AB|=24，O为坐标原点，求△OAB的面积．16.(本小题15分)

近年来我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份x20182019202020212022销量y(万台)23.52.589了解不了解合计男生25女生20合计(1)求氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程；

(2)为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如右上表所示的数据：

(i)根据已知条件，填写上述2×2列联表；

(ii)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？

参考公式：

①回归方程y​=b​x+a​中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b​=α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82817.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=23，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，OP=23，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．

(Ⅰ)求证：平面OEF//平面PCD；

(Ⅱ)18.(本小题17分)

某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1、p2、p3，假定p1、p2、p3互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．

(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若p1=34，p2=23，p3=119.(本小题17分)

设函数f(x)=(x−a)lnx−x+a，a∈R．

(1)若a=0，求函数f(x)的单调区间；

(2)若−2e2<a<0，试判断函数f(x)在区间(e−2,e2)内的极值点的个数，并说明理由；

(3)求证：对任意的正数a参考答案1.C

2.D

3.D

4.D

5.D

6.B

7.C

8.C

9.BCD

10.BD

11.ACD

12.15

13.1014.141715.解：(1)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，

令x=p2，

解得：y=±p，

∴|AB|=2p=16，

解得：p=8，

∴抛物线的方程为：y2=16x；

(2)依题意．设直线l方程为y=k(x−4)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则y=k(x−4)y2=16x，

得k2x2−(8k2+16)x+16k2=0，k≠0，

又Δ=(816.解：(1)根据题意可得：年份x的平均数x−=2020，

销量y的平均数y−=5，

所以i=15(xi−x−)2=4+1+0+1+4=10，

i=15(xi−x−)(yi−了解不了解合计男生352560女生204060合计5565120(ii)零假设H0：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，

根据2×2列联表中的数据可得χ2=120×(35×40−25×20)260×60×55×65≈7.55>6.635，

17.(Ⅰ)证明：因为底面ABCD是矩形，AC与BD交于点O，所以O为AC中点，

因为点E是棱PA的中点，F是棱PB的中点，

所以OE//PC，OF//PD，

又OE∩OF=O，OE，OF⊂平面OEF，PC∩PD=P，PC，PD⊂平面PCD，

所以平面OEF/​/平面PCD．

(Ⅱ)解：分别取AB，BC的中点G、H，

因为四边形ABCD为矩形，OP⊥平面ABCD，所以OG，OH，OP两两互相垂直，

故以O为坐标原点，OG，OH，OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，B(3,1,0)，A(3,−1,0)，P(0,0,23)，E(32,−12,3)，F(32,12,3)，

所以OE=(32,−12,3)，OF=(32,12,3)，PA=(3,−1,−218.解：(1)设事件A表示“该小组比赛胜利”，

则P(A)=34+14×23+14×13×12=2324；

(2)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，

则P(X=1)=p1，P(X=2)=(1−p1)p2，P(X=3)=(1−p1)(1−p2)，

所以X的分布为：123p1(1−p1)p2(1−p19.解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx−x，f′(x)=lnx，

令f′(x)=0，x=1，列表分析x(0,1)1(1,+∞)f′(x)−0+f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．

(2)f(x)=(x−a)lnx−x+a，f′(x)=lnx−ax=xlnx−ax，其中x>0，

令g(x)=xlnx−a，分析g(x)的零点情况．g′(x)=lnx+1，令g′(x)=0，x(0,1(g′(x)−0+g(x)单调递减单调递增g(x)min=g(1e)=−1e−a，

而f′(1e)=ln1e−ae=−1−ae，f′(e−2)=−2−ae2=−(2+ae2)，f′(e2)=2−ae2=1e2(2e2−a)，

若−2e2<a<0，则f′(1e)=ln1e−ae<0，f′(ex(1,x(f′(x)−0+f(x)单调递减单调递增知，x∈(1,1+a)，f(x)<max{f(1),f(1+a)}．

又f(1+a)=ln(1+a)−1，而x>1时，lnx<x−1(∗∗)，

所以f(1+a)<(a+1)−1−1=a−1=f(