2024-2025学年北京二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京二中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x2−2x−3>0}，则A∪B=A.(3,+∞) B.(1,3)

C.(−∞,−1)∪(1,+∞) D.(−∞,−1)∪(3,+∞)2.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=15，A.2 B.1 C.0 D.−13.已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则AF⋅AE=A.1 B.2 C.3 D.44.在复平面上，复数1+ai2−i所对应的点在第二象限，则实数a的值可以为(

)A.−12 B.1 C.2 5.已知sin(π6+α)=−A.−23 B.−13 C.6.“sinθ+tanθ>0”是“θ为第一或第三象限角”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2b2+c2−A.33 B.13 C.18.分贝(dB)、奈培(Np)均可用来量化声音的响度，其定义式分别为1dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0，其中A为待测值，A0A.8.686 B.4.343 C.0.8686 D.0.1159.已知函数f(x)的定义域为R，存在常数t(t>0)，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈[0,t)时，f(x)=|x−t2|.若f(x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为A.3 B.83 C.2 D.10.设函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1)，B(xKA−KBAB(AB为线段AB的是(

)A.函数y=sinx图象上两点A与B的横坐标分别为1和−1，则φ(A,B)=0

B.存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数

C.设A，B是抛物线y=x2上不同的两点，则φ(A,B)⩽2

D.设A，B是曲线y=ex(是自然对数的底数)上不同的两点二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.(12x−x)12.已知双曲线x2a2−y2b13.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．

①函数f(x)的最小正周期为______；

②将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数，则t的最小值是______．14.已知函数f(x)=sinωx−2cosωx(ω>0)，且f(α+x)=f(α−x).若两个不等的实数x1，x2满足f(x1)f(x2)=515.已知函数f(x)=xx+2,x∈(12,1]−12x+14,x∈[0,12],g(x)=asin(π3x+3π2)−2a+2(a>0)，给出下列结论：

①函数f(x)的值域为[0,13]；

②函数g(x)在[0,1]上是增函数；三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=cosωxsin(ωx+π6).且满足_____．

(在下列三个条件中任选一个，并解答问题)

①函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2；

②函数f(x)的图象相邻两个最大值之间的距离为π；

③已知x1≠x2，f(x1)=f(x2)=14，且|x1−x217.(本小题13分)

为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297(Ⅰ)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；

(Ⅱ)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀(>90分)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)表中男生和女生成绩的方差分别记为s12，s22，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为s32，试比较s1218.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．

(Ⅰ)证明：CD⊥平面POC．

(Ⅱ)求二面角C−PD−O的平面角的余弦值．

(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD，若存在试求出CMPC，若不存在，请说明理由．19.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax2+xlnx(a∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直．

(Ⅰ)求实数a的值；

(Ⅱ)若存在k∈Z，使得f(x)>k恒成立，求20.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，点A(−2,0)在C上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点B(−2,1)且斜率为k的直线交椭圆C于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，试用含k21.(本小题15分)

已知n为正整数，数列X：x1，x2，⋯，xn，记S(X)=x1+x2+⋯+xn，对于数列X，总有xk∈{0,1}，k=1，2，⋯，n，则称数列X为n项0−1数列．

若数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，均为n项0−1数列，定义数列A∗B：m1，m2，⋯，mn，其中mk=1−|ak−bk|，k=1，2，⋯，n．

(Ⅰ)已知数列A：1，0，1，B：0，1，1，直接写出S(A∗A)和S(A∗B)的值；

(Ⅱ)若数列A参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.B

10.D

11.−7

12.2

13.3π2

π14.−415.①②④

16.解：(I)因为f(x)=cosωxsin(ωx+π6)=cosωx[sinωx×32+cosωx×12]=sin2ωx×34+(1+cos2ωx)×14=12sin(2ωx+π6)+14，

若选择①函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得函数周期为π，

所以2π2ω=π，ω=1，

若选择②函数f(x)的图象相邻两个最大值之间的距离为π，可得函数周期为π，

所以2π2ω=π，ω=1，

若选择③已知x1≠x2，f(x1)=f(x2)=14，

即可得12sin(2ωx+π6)=0有2个根x1，x2，|x1−x2|的最小值为π2，可得函数周期为π，

所以2π2ω=π，ω=1，

所以17.解：(Ⅰ)设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件A，

由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有C61C61=36种组合，

其中男生成绩高于女生(81,72)，(81,80)，(84,72)，(84,80)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(88,72)，(88,80)，(88,84)，(91,72)，(91,80)，(91,84)，(91,88)，

所以事件A有17种组合，因此P(A)=1736；

(Ⅱ)由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀(>90分)的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14，

因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数X可取0，1，2，3且X～B(3,14)，

X

0

1

2

3

P

27

27

9

1数学期望E(X)=0+1×2764+2×964+3×164=4864=34．

(Ⅲ)男生的平均成绩为x1−=81+84+86+86+88+916=86，则s1218.解：(I)证明：平面ABCD内，过C点作CE⊥AD于E

∵直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2

Rt△CDE中，DE=2，可得CD=CE2+DE2=22

∵Rt△BOC中，BO=12AB=1，BC=1，∴OC=BO2+BC2=2

同理，得OD=AO2+AD2=10

∴OD2=10=OC2+CD2，可得△OCD是以OD为斜边的直角三角形，

∴OC⊥CD

∵PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，

∴PO⊥平面ABCD，结合CD⊂平面ABCD，得PO⊥CD

∵PO、OC是平面POC内的相交直线，∴CD⊥平面POC；

(II)设CD的中点为F，连结OF，则直线OB、OF、OP两两互相垂直，

分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O−xyz，如图所示

则C(1,1,0)，D(−1,3,0)，P(0,0,22)，

可得OP=(0,0,22)，OD=(−1,3,0)，

设m=(x,y,z)为平面POD的一个法向量，则m⋅OP=22z=0m⋅OD=−x+3y=0，

取y=1，得x=3且z=0，得m=(3,1,0)

设平面PCD的一个法向量为n=a,b,c，则n·CP19.解：(Ⅰ)∵f(x)=ax2+xlnx，∴f′(x)=2ax+lnx+1，

∵切线与直线x+3y=0垂直，∴切线的斜率为3，

∴f′(1)=3，即2a+1=3，故a=1；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2+xlnx，a∈(0,+∞)，f′(x)=2x+lnx+1，x∈(0,+∞)，

令g(x)=2x+lnx+1，x∈(0,+∞)，则g′(x)=1x+2，x∈(0,+∞)，

由g′(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，

又∵g(1e2)=2e2−1<0，g(12)=2−ln2>0，

∴存在x0∈(0,12)使g(x0)=0

∵g(x)在(0,+∞)上单调递增，

∴当x∈(0,x0)时，g(x)=f′(x)<0，f(x)在(0,x0)上单调递减；

当x∈(x0,+∞)时，g(x)=f′(x)>0，f(x)在(x20.解：(Ⅰ)因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，点A(−2,0)在C上，

所以ca=32a=2a2=b2+c2，所以a=2，b=1，c=3，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)设过点B(−2,1)且斜率为k的直线为：y−1=k(x+2)，即y=kx+2k+1，

联立方程组x24+y2=1y=kx+2k+1，消去y得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+(16k2+16k)=0，

因为P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直线与椭圆的交点，

所以x1+x2=−16k2−8k1+4k2,x1x2=16k2+16k1+421.解：(I)S(A∗A)=3，S(A∗B)=1；

(II)证明：对于两个0−1数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，

记数列A∗B：c1，c2，⋯，cn，则对于ck(1,2,3,⋯,n)，

若ak=1，则此时|ak−bk|=1−bk，ck=1−|ak−bk|=bk，

若ak