2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真拟卷(T8联盟)数学试题（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真拟卷(T8联盟)数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈R|2a−1<x<a2+a}，B={x∈R|2x−3x+1≤1}，若A.−2 B.0 C.1 D.1或−22.已知z1=1+i，z2=a2+4ai，若A.−4 B.0 C.−4或0 D.43.从集合{1,2,3,⋯,9}中任取3个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为(

)A.37 B.514 C.274.已知A(0,1)，B(0,−1)，C是A关于直线x−2y=0的对称点，则BA⋅BC=A.25 B.35 C.455.甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有(

)A.720种 B.1440种 C.2880种 D.4320种6.已知三棱锥P−ABC满足AB=3，BC=4，AC=5，且其体积为42，若点P(正投影在△ABC内部)到AB，BC，AC的距离相等，则三棱锥的表面积为(

)A.18 B.21 C.24 D.277.在△ABC中，M为边AB的中点，若∠ACM=π4，则∠ABC的最大值为(

)A.π6 B.π4 C.π38.已知指数函数f(x)=ax，若f(f(x))=x有且只有两个不等根，则a的取值范围是(

)A.(0,e−e) B.[e−e,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点Q(4,2)，直线l:ax+by+c=0，其中b是a，c的等差中项，过点P(−5,6)作直线l的垂线，垂足为H，则(

)A.直线l过定点 B.PH的最大值为10

C.QH的最小值为2 D.QH的最大值为1110.已知a，b，c∈R，满足a2+b2+cA.a+b+c=2 B.ab+bc+ac<1 C.a的最小值为−23 D.a11.已知正项数列{an}满足a0=3A.a1=14 B.存在k∈N，使得ak+1>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)在区间(0,π)上恰有两个极大值点和一个极小值点，则正实数ω13.已知△ABC是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内接三角形，其中原点O是△ABC的重心，若点A的横坐标为14.定义在闭区间[1,3]上的函数f(x)=x2−bx+b2+c(b,c∈R)的最大值与最小值之积为−16，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著.下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第x年，不礼让行人车数为y(单位：百辆)．x/年12345y/百辆5.85.24.53.72.8(1)求不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程;(2)预测该路口2025年不礼让行人车数．参考公式：经验回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b16.(本小题15分)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，4cosC+cos(1)求证：a+b=2c;(2)若点M是边AB上靠近点B的三等分点，求CM的最小值．17.(本小题15分)已知函数f(x)=ln(ax+1)−x在点(0,0)处的切线与(1)求函数f(x)的单调区间与极值;(2)已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=ln(an+1)18.(本小题17分)现有一双曲线Γ:x2a2−y2b2=1，F1(−2,0)和(1)求双曲线Γ的标准方程;(2)过F1的直线交双曲线左支于A，B两点(点A在点B上方)，判断1|A(3)在(2)的条件下，过点F2作平行于AB的直线交双曲线右支于C，D两点(点C在点D上方)，AF2与CF1相交于点19.(本小题17分)

三余弦定理：设A为平面α内一点，过点A的斜线AO在平面α上的正投影为直线AB. AC为平面α内的一条直线，记斜线AO与直线AB的夹角(即直线AO与平面α所成角)为θ1，直线AB与直线AC的夹角为θ2，直线AO与直线AC的夹角为θ，则cosθ=cosθ1cosθ2.三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．

(1)证明三余弦定理;

(2)如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，△ABC为正三角形，∠BAA1=∠CAA1=π3，求直线AA1参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.ABC

11.ACD

12.(713.214.(−∞,0]∪[8,+∞)

15.解：(1)由题意得x=i=15xi5=3，y=i=15yi5=4.4，i=15xi2=55，i=15xiyi=58.5，

由最小二乘法估计可得b=i=116.【解答】

(1)证明：由题意得1+cos(A−B)=4[1+cos(A+B)]，即2cos2A−B2=4⋅2cos2A+B2，

即cosA−B2=2cosA+B2=2sinC2，

因为sinA+sinB=sin(A+B2+A−B2)+sin(A+B2−A−B2)，

即sinA+17.解：(1)∵f(0)=0，f′(x)=aax+1−1，

由题意得f(0)=0，∴a=1，即f(x)=ln(x+1)−x，

∴f′(x)=1x+1−1=−xx+1，即f(x)在区间(−1,0)上单调递增，在区间(0,+∞)上单调递减，

∴f(x)有极大值f(0)=0，无极小值．

(2)证明：由(1)可得ln(x+1)≤x，∴lnx≤x−1，

等价变形为ln1x≤1x−1，即lnx≥1−1x，当且仅当x=1时取等号，

代入题干中可得an+1=ln(1+an)>1−11+an=a18.解：(1)设|PF2|=x，则|PF1|=x+2a>0，

由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得x≥2−a．

∵|PF1||PF2|=x+2ax=1+2ax在区间[2−a,+∞)上单调递减，

∴x=2−a时，|PF1||PF2|取最大值3，

∴1+2a2−a=3，解得a=1．

∴b2=22−1=3．

∴由题意可得双曲线的标准方程为x2−y23=1．

(2)1|PF1|+1|PF2|=23，是定值．

19.(1)证明：如图，不妨设O在平面α的射影为B，则OB⊥α，过点B作BC⊥AC交直线AC于点C，连接OC，

∴∠OAB即为斜线AO与平面α所成角θ1，

∠BAC即为斜线AO在平面α的射影直线AB与平面α内的直线AC所成角θ2，

∠OAC即为斜线AO与平面α内的直线AC所成角θ，

∵OB⊥α，AC⊂α，∴OB⊥AC，

又BC⊥AC，OB∩BC=B，OB，OC⊂平面OBC，

∴AC⊥平面OBC，∵OC⊂平面OBC，∴AC⊥OC，

根据几何关系可得cosθ1=ABAO，cosθ2=ACAB，cosθ=ACAO，

∴cosθ=cosθ1cosθ2．

(2)解：取BC中点为M，连接A1B，A1C，A1M，AM，易知△ABA1≌△ACA1，

∴A1C=A1B，∴A1M⊥BC．

又