2024-2025学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高一（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高一（上）段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2≤x≤4}，B={x∈Z||x−3|<2}，则A∩B=(

)A.[2,4] B.{2,3,4} C.(1,5) D.(2,4)2.已知函数y=f(2x−1)的定义域是[−1,3]，则y=f(x)x+2的定义域是A.(−2,5] B.(−2,3] C.[−1,3] D.[−2,5]3.下列结论正确的有(

)A.函数f(x)=(x−1)0+x+1的定义域为(−1,+∞)

B.函数y=f(x)，x∈[−1,1]的图象与y轴有且只有一个交点

C.函数y=f(x)的图象与直线x=1有且只有一个交点

4.已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是(

)A.a≤−3 B.a≤1 C.a≥−1 D.a≥15.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记A={x|x是听了数学讲座的学生}，B={x|x是听了历史讲座的学生}，C={x|x是听了音乐讲座的学生}.用card(M)来表示有限集合M中元素的个数，若card(A∩B)=17，card(A∩C)=12，card(B∩C)=9，A∩B∩C=⌀，则(

)A.card(A∪B)=143 B.card(A∪B∪C)=166

C.card(B∪C)=129 D.card(A∩B∩C)=386.若“∃x∈R，ax2−3ax+9≤0”是假命题，则a的取值范围为A.[0,4] B.[0,4) C.(0,4) D.[4,+∞)7.关于x的不等式x2−(1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是(

)A.{a|−2≤a<−1或3<a≤4} B.{a|−2≤a≤−1或3≤a≤4}

C.{a|−1≤a<−12或8.设实数x，y满足x>32，y>3，不等式k(2x−3)(y−3)≤8x3+yA.12 B.24 C.23 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.若ac2>bc2，则a>b

B.命题“∃x∈R，1<f(x)≤2”的否定是“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”

C.若x∈R，则函数y=x2+4+1x10.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为M，则下列说法正确的是A.若M=⌀，则a<0且b2−4ac≤0

B.若aa′=bb′=cc′，则关于x的不等式a′x2+b′x+c′>0的解集也为M

C.若M={x|−1<x<2}，则关于x的不等式a(x2+1)+b(x−1)+c<2ax的解集为11.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“⋅”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：

①对所有的a、b∈G，有a⋅b∈G；

②∀a、b、c∈G，有(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)；

③∃e∈G，使得∀a∈G，有e⋅a=a⋅e=a，e称为单位元；

④∀a∈G，∃b∈G，使a⋅b=bA.G={−1,1}关于数的乘法构成群

B.自然数集N关于数的加法构成群

C.实数集R关于数的乘法构成群

D.G={a+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设全集U={2,4,m2+m−5}，集合A={2,1−m}，若∁UA={1}，则实数13.已知p：(x+1)(x−5)≤0，q：1−m≤x≤1+m.若m=5，p，q有且只有一个为真命题，则实数x的取值范围是______．14.设a∈R，若x>0时，均有[(a−2)x−1](x2−ax−1)≥0成立，则实数a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合U={x|0<x<9}，A={x|4x−x2>0}，B={x|a<x<2a−1}．

(1)当a=3时，求(∁UA)∩(∁UB)16.(本小题15分)

如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：yx<y+mx+m(x>y>0,m>0)．

(1)证明糖水不等式；

(2)已知a，b，17.(本小题15分)

高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=[x]成为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[−1.2]=−2．

(1)求−52≤[x]≤52的解集和2[x]2−11[x]+15≤0的解集．

(2)若18.(本小题17分)

对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)，若存在x0∈R，使得mx02+nx0+t=x0成立，则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点．

(1)求二次函数y=x2−x−3的不动点；

(2)若二次函数y=219.(本小题17分)

数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：a2+b2≥2ab(a,b∈R)的不同理解，推理出不同的结果：

①如果我们把不等式的右边看成ab+ba的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式：a3+b3≥a2b+ab2，(a,b>0)

②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式：a3+b3+c3≥3abc，(a,b,c>0)

(1)请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：a3参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.B

6.B

7.C

8.B

9.ABD

10.ACD

11.AD

12.−3

13.[−4,−1)∪(5,6]

14.{3+15.解：(1)a=3时，A={x|0<x<4}，B={x|3<x<5}．

则A∪B={x|0<x<5}，

因为U={x|0<x<9}，

所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={x|5≤x<9}．

(2)若(∁UB)∩A={x|0<x<4}，

①B=⌀时，a≥2a−1，解得，a≤1，

此时B⊆U，∁UB=U，(∁UB)∩A={x|0<x<4}．

②B≠⌀时，a>1，又B⊆U，故a≥02a−1≤9，

16.证明：(1)y+mx+m−yx=x(y+m)−y(x+m)x(x+m)=m(x−y)x(x+m)．

∵x>y>0，m>0，∴x+m>0，x−y>0，

∴m(x−y)x(x+m)>0，即yx<y+mx+m．

(2)∵a，b，c是三角形的三边，∴b+c>a>017.解：(1)由题意得[x]≤x<[x]+1，且[x]∈Z，

由−52≤[x]≤52，得−2≤[x]≤2，所以−2≤x<3，

所以−52≤[x]≤52的解集为{x|−2≤x<3}；

由2[x]2−11[x]+15≤0，得([x]−3)(2[x]−5)≤0，

解得52≤[x]≤3，则[x]=3，所以3≤x<4．

所以2[x]2−11[x]+15≤0的解集为{x|3≤x<4}．

(2)不等式[x]2−2[x]−a2+1≤0，即([x]+a−1)([x]−a−1)≤0，

①若a=0，不等式为[x]2−2[x]+1≤0，

即[x]=1，所以0≤x<1，显然不符合题意；

②若a>0，1−a<1+a，

由([x]+a−1)([x]−a−1)≤0，解得1−a≤[x]≤1+a，

因为不等式的解集为{x|1−a≤[x]≤1+a}={x|0≤x<3}={x|−1<[x]<3}，

所以−1<1−a≤02≤1+a<3，解得1≤a<2，

③若a<0，1+a<1−a，

18.解：(1)由题意知：x2−x−3=x，x2−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，

解得x1=−1，x2=3，所以不动点为−1和3．

(2)依题意，2x2−(3+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根，

即方程2x2−(4+a)x+a−1=0有两个不相等的正实数根，

所以，解得a>1，

所以x1x2+x2x1=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2=(19.解：(1)证明：当a，b，c∈(0,+∞)时，

a3+b3−(a2b+ab2)=a3−a2b+b3−ab2

=a2(a−b)+b2(b−a)

=(a2−b2)(a−b)

=(a−b)2(a+b)，

因为a