2024-2025学年山西省晋中市部分校高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西省晋中市部分校高三（上）质检数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|x3−2x<4}，则A∩B的真子集的个数为A.8 B.7 C.16 D.152.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式bx2−ax<0的解集为A.(−14,0) B.(−∞,−14)∪(0,+∞)4.已知函数f(x)=(x−a)(x−2)(x−3)(x−4)，若f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=6x+b，则a+b=(

)A.−11 B.−12 C.−13 D.−145.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2=A.π12 B.5π12 C.7π126.记max{a,b}表示a，b二者中较大的一个，函数f(x)=−x2−7x−5，g(x)=max{31−x,log3(x+2)}，若∀xA.[−5,−2] B.[−4,−3] C.[−92,−7.已知x>0，y>0，且4x2+5xy=(4+y)(4−y)，则7x+4y的最小值为A.63 B.(5+28.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若对于任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(x)+f(y)=f(xy)+2，当x>1时，都有f(x)>2，且f(3)=3，则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是(

)A.命题p：∃x>2，x2−3x−4<0的否定为∀x≤2，x2−3x−4≥0

B.已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2

C.已知函数f(3x−1)的定义域为[−1,1]，则函数f(x)的定义域为[−4,2]

D.已知函数f(x)=lg(10.已知函数f(x)=sinx+cosxsin2x，则下列说法正确的是(

)A.2π是函数f(x)的周期 B.函数f(x)的图象关于直线x=π对称

C.函数f(x)在区间(−π2,0)上单调递减 D.当11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(3x+1)是偶函数，且f(2+x)−f(2−x)=x，令g(x)=f′(x)，则下列说法正确的是(

)A.函数y=12x−f(x+2)是奇函数 B.g(1)=0

C.函数g(x)的图象关于点(3,1)对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.4lo13.已知3sinβ−cosβ+3=0，sinα=3sin(α+β)，则tan(α+β)=______．14.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义(x1−y四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知集合A={x||2x−5|≤3}，B={x|x2−4mx+(2m+1)(2m−1)≤0}．

(1)若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求m的取值范围；

(2)若函数y=log2(ax2−3x+2)16.(本小题12分)

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=a⋅3x−3−x，且f(−1)=83．

(1)求a的值，并求出f(x)的解析式；

(2)若17.(本小题12分)

已知函数f(x)=sin4x+2sinxcosx−cos4x.

(1)若α∈(0,π2)，f(α2)=23，求cos(α+π12)的值；

(2)将函数f(x)的图象向右平移π18.(本小题12分)

在△ABC中，点D是边AC上一点，且BD⊥BC，

(1)若AB=10，BC=1，且sin∠ABC=31010，求cos∠ADB的值；

(2)若∠ABD=π6，且BD=23，求△ABC面积的最小值；

(3)若19.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx+a2x2−x+2(a∈R)．

(1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；

(2)若a=0；求证：f(x)<4ex−2x2；

(3)设参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.B

6.A

7.C

8.D

9.AD

10.ACD

11.BCD

12.8

13.1314.215.解：(1)由|2x−5|≤3可得−3≤2x−5≤3，

解得1≤x≤4，则A=[1,4]，

解不等式x2−4mx+(2m+1)(2m−1)=[x−(2m−1)][x−(2m+1)]≤0，解得2m−1≤x≤2m+1，

所以B=[2m−1,2m+1]，

因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以2m−1≥1,2m+1≤4,且等号不同时成立，

解得1≤m≤32，即m的取值范围是[1,32]．

(2)因为A∩C≠⌀，所以ax2−3x+2>0在x∈[1,4]上有解，

所以a>−2x2+316.解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(−1)=f(1)=3a−13=83，

解得a=1，

当x<0时，可得−x>0，所以f(x)=f(−x)=3−x−3−(−x)=3−x−3x，

所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x−3−x,x≥03−x−3x,x<0；

(2)由(1)知，当x>0时，f(x)=3x−3−x>0，

因为λf(x)−9x17.解：(1)由题意知f(x)=sin4x+2sinxcosx−cos4x=sin2x+(sin2x−cos2x)(sin2x+cos2x)=2sin(2x−π4)，

因为f(α2)=2sin(α−π4)=23，

所以sin(α−π4)=13，令α−π4=t，则α=t+π4，sint=13，

因为α∈(0,π2)，所以t∈(−π4,π4)，

由sin2t+cos2t=1，得cos2t=8918.解：(1)由题意知∠ABC∈(π2,π)，如图所示：

所以cos∠ABC=−1−sin2∠ABC=−1010，

又AC2=BA2+BC2−2BA⋅BCcos∠ABC=10+1−2×10×1×(−1010)=13，

所以AC=13，由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin∠BCA，得1331010=10sin∠BCA，

所以sin∠BCA=10×3101013=31313，

所以cos∠ADB=cos(∠ACB+π2)=−sin∠ACB=−31313；

(2)设BA=m(m>0)，BC=n(n>0)，因为S△ABC=S△ABD+S△DBC，

所以12BA⋅BCsin∠ABC=12BA⋅BDsin∠ABD+12BC⋅BDsin∠CBD，

即12mnsin2π3=12m⋅23sinπ6+12n⋅23，

所以mn=2m+4n≥22m⋅4n=42mn，所以mn≥32，

当且仅当2m=4n，即m=8，n=4时等号成立，

所以△ABC的面积S△ABC19.解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=1x+ax−1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，

∴a≥−1x2+1x在x∈(0,+∞)上恒成立，

又−1x2+1x=−(1x−12)2+14≤14，当且仅当x=2时，等号成立，

∴a≥14，即a的取值范围是[14,+∞)．

(2)证明：若a=0，f(x)=lnx−x+2，∴f′(x)=1x−1=1−xx，

令f′(x)=0，解得x=1，

令f′(x)>0，解得0<x<1；令f′(x)<0，解得x>1．

∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

∴f(x)≤f(1)=1，当且仅当x=1时，等号成立．

令g(x)=4ex−2x2，x>0，∴g′(x)=4(x2−2x)ex−2x4=4(x−2)ex−2x3，