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文档简介
微分方程的解法习题课一、一阶微分方程求解二、两类二阶微分方程的解法
第9章一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法代换因变量代换某组合式三个标准类型可分离变量方程齐次方程线性方程代换自变量例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)
这是一个齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程:方程两边同除以x
即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(伯努利方程)(分离变量方程)原方程化为令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是二、两类二阶微分方程的解法
1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解2.二阶线性微分方程的解法
常系数情形齐次非齐次代数法
欧拉方程特征根:例4.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:例5.且满足方程提示:
则问题化为解初值问题:最后求得思考:
设提示:
对积分换元,则有解初值问题:答案:的解.例6.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对
x
求导,得(1)
由反函数的导数公式知(2003考研)代入原微分方程得①(2)
方程①的对应齐
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