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文档简介
习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用
第7章重积分的计算及应用一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:
面、线、点)3.掌握确定积分限的方法—累次积分法例1.计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:
利用极坐标原式二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.利用扩展积分域进行计算则提示:如图,由对称性知在上是关于y的奇函数在上是关于
x
的偶函数A例2.例3.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示:
建立坐标系如图.由已知可知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,例4.
计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)
利用对称性.围成.(2)
积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例5.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成例6.求抛物线所围区域
D的面积A.解:如图所示注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,例7.交换积
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