2024-2025学年天津市河西区海河中学高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市河西区海河中学高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P={x∈N|1≤x≤5}，集合Q={x∈R|x2−x−6<0}，则P∩Q等于A.{1,2,3} B.{1,2} C.[1,2] D.[1,3)2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“A=B”是“sinA=sinB”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a=21.2，b=2lg3,c=ln1A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a4.下列函数是偶函数的是(

)A.f(x)=xcosx B.f(x)=x2−xx−1 C.5.已知向量a=(1,2)，b=(−1,1)，若c满足(c+a)//bA.(−3,0) B.(1,0) C.(0,−3) D.(0,1)6.函数f(x)=ln(4−x)sinx⋅A.(1,π2)∪(π2,4) B.(1,π)∪(π,4)7.已知向量a，b满足：|a|=1，|a+2b|=2，且(A.12 B.22 C.8.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则(

)A.ω=2，φ=5π6B.ω=12，φ=5π6

C.ω=2，9.设a∈R，函数fx=cos(2πx−2πa)x<ax2−2(a+1)x+a2+5x≥aA.2,94∪52,114 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知i是虚数单位，复数(5+i)⋅(11.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，a4+a5+12.若正数x，y满足2x+y=1，则1x+213.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在14.已知cos2α2sin(α+π415.在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，则λ−μ=______；F为线段BE上的动点，G三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知函数f(x)=2sinxcosx+23cos2x−23．

(1)求f(x)的对称中心坐标；

(2)当x∈[0,π2]时，①17.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．

(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若函数f(x)在[1,e2]上有且仅有2个零点，求a18.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE=1．

(1)求证：DM//平面PAB；

(2)求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；

(3)求点E到PD的距离．19.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acosC．

(1)求A；

(2)若cosB=33，求sin(2B−A)的值；

(3)若△ABC的面积为9320.(本小题16分)

已知函数f(x)=ax+bsinx，当x=π3时，f(x)取得极小值π3−3．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)记ℎ(x)=18[5x−f(x)]，设x1是方程ℎ(x)−x=0的实数根，若对于ℎ(x)定义域中任意的x2，x3.当|x2−x1|<1，且|x3−x1|<1时，问是否存在一个最小的正整数M，使得|ℎ(x3)−ℎ(x2)|≤M|恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由．

(Ⅲ)设直线l：y=g(x)，曲线S：y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.B

8.A

9.A

10.7−11.4

36

12.8

13.−23

14.8315.−23

16.解：(1)由题意可知：f(x)=sin2x+3cos2x−3

=2(12sin2x+32cos2x)−3=2sin(2x+π3)−3，

令2x+π3=kπ,k∈Z，可得x=kπ2−π6,k∈Z，

所以f(x)的对称中心坐标为(kπ2−π6,−3)，k∈Z；

(2)①因为x∈[0,π2]，所以z=2x+π3∈[π3,4π3]，

因为y=sinz，z∈[π3,4π3]的单调递减区间是[17.解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=lnx−x，

f′(x)=1x−1=1−xx(x>0)，

所以f′(1)=0，f(1)=−1，

所求的切线方程为y=−1．

(Ⅱ)f′(x)=1x−a=1−axx(x>0)，

a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

a>0时，由f′(x)=0，得x=1a，

当0<x<1a时，f′(x)>0；当x>1a时，f′(x)<0，

即当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1a)，单调递减区间为(1a,+∞)．

(Ⅲ)当x∈[1,e2]时，由f(x)=lnx−ax=0得a=lnxx，

令ℎ(x)=lnxx，x∈[1,18.证明：(1)如图，取BC中点F，连接MF，DF，

因为F为BC中点，BC/​/AD，AD=AB=2，BC=4，所以BF=AD，BF/​/AD，

所以四边形ABFD为平行四边形，所以AB/​/DF，

又DF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以DF/​/平面PAB，

因为F为BC中点，M为PC中点，则MF/​/PB，

又MF⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以MF/​/平面PAB，

因为MF∩DF=F，MF，DF⊂平面MDF，所以平面MDF//平面PAB，

又DM⊂平面MDF，故DM/​/平面PAB；

解：(2)根据题意，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

由条件可得，A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(2,1,0)，

则PB=(2,0,−2),PD=(0,2,−2),PE=(2,1,−2)，

设平面PDE的法问量为n=(x,y,z)，

则PD⋅n=2y−2z=0PE⋅n=2x+y−2z=0，解得y=zy=2x，

取y=2，则x=1，z=2，所以平面PDE的一个法向量为n=(1,2,2)，

设直线PB与平面PDE所成角为θ，

则sinθ=|cos<PB,n>|=|PB⋅n||19.解：(1)因为2b=c+2acosC，由正弦定理可得2sinB=sinC+2sinAcosC，

所以2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，

即sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC，

所以sinC=2cosAsinC，

因为C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=12，A∈(0,π)，

所以A=π3．

(2)由已知cosB=33，B∈(0,π)，所以sinB=1−cos2B=63，

所以sin2B=2sinBcosB=223，cos2B=2cos2B−1=−13，

所以sin(2B−A)=sin20.解：(Ⅰ)解：由已知f′(x)=a+bcosx，

于是得：a+12b=0,π3a+32b=π3−3，代入可得：a=1，b=−2，

此时，f(x)=x−2sinx.∴f′(x)=1−2cosx．

当x∈(0,π3)时，f′(x)<0；

当x∈(π3,π2)时，f′(x)>0，

∴当x