2024-2025学年江苏省盐城市东台中学高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省盐城市东台中学高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|0≤log3x≤1}，B={x||x−3|≤1}，则A∩B=A.[1,2] B.[1,4] C.[2,3] D.[2,4]2.“x=0”是“sinx=0”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知tanα=2，则cos (π+α)+cosA.−13 B.−1 C.1 4.已知f(x)=ex，若a>0，b>0，且f(a)⋅f(2b)=e2，则1A.2 B.4 C.92 D.5.已知函数fx=2xsinA.−2 B.−1 C.1 D.26.我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可表示成(

)A.πncos180∘n B.πn7.若函数f(x)=sinωx−3cosωx在(π6,A.(53,113) B.(8.已知函数fx=x3+ax2+bx+ca , b , c∈R，若不等式A.−14 B.0 C.−4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中，最小值是4的有(

)A.y=2x+42x B.y=10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则能推出A=π3的有(    )．A.asinC−3ccosA=0

B.11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足如下条件：①f(xy)=x2f(y)+y2f(x)；②当x>1A.f(1)=0 B.f(x)在(1,+∞)上是增函数

C.f(x)是周期函数 D.f(x)+f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.tan555°的值为______．13.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，xf′(x)<1，且f(e)=3，则不等式f(x2)−2lnx<214.如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧MN的中点.一个时装塑料模特A在OP上，MA=2AO.计划在弧NP上设置一个收银台B，若∠ABO越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为______米.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且点P(π6,2)是该函数图象上的一个最高点．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)把函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<π2)个单位长度，得到函数g(x)16.(本小题12分)

某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A同学获胜的概率均为23，且各场比赛的结果相互独立．

(1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；

(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望．17.(本小题12分)已知在多面体ABCDE中，DE//AB，AC⊥BC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC，且平面DAC⊥平面ABC．(Ⅰ)设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；(Ⅱ)若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求二面角B−AD−C的余弦值．

18.(本小题12分)

如图所示，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，且AD=kAC．

(1)若DC=2，求BC的长度;(2)求k的取值范围;(3)若S△ABC=1，求k为何值时，BC19.(本小题12分)若函数f(x)=ln(1)若a=4，且曲线y=f(x)的切线l过点(0,2e2)，求直线(2)证明：若f(x1(3)若G(x)=f(x)+x+lna2≤0恒成立，求参考答案1.C

2.A

3.A

4.C

5.D

6.A

7.B

8.C

9.AD

10.ACD

11.ABD

12.2−13.(14.415.解：(1)由已知得A=2，T=π,ω=2πT=2，

故f(x)=2sin(2x+φ)，所以2sin(2×π6+φ)=2，

故sin(π3+φ)=1，得π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，

又|φ|<π2，故k=0时，φ=π6即为所求，

故f(x)=2sin(2x+π6).

(2)函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<π2)个单位长度，得g(x)=2sin[2(x−θ)+π6]，

令t=2x−2θ+π6，则y=g(x)化为y=2sint，因为x∈[0,π4]，故t∈[π616.解：(1)由题可知，A同学连胜2场或连败2场，

则其概率P=23×23+13×13=59．

(2)由题可知，X的取值可能是2，4，6，

由(1)知，P(X=2)=59，

当X246P52016所以数学期望E(X)=2×5917.解：(Ⅰ)证明：取AC的中点O，连接EF,OF．

∵在△DAC中DA=DC，

∴DO⊥AC．

∵平面DAC⊥平面ABC，平面DAC∩平面ABC=AC，DO⊂平面DAC，

∴DO⊥平面ABC．

∵O,F分别为AC,BC的中点，

∴OF//AB，且AB=2OF．

又DE/​/AB，AB=2DE，

∴OF//DE，且OF=DE．

∴四边形DEFO为平行四边形

∴EF//DO，

∴EF⊥平面ABC.

−

(Ⅱ)∵DO⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，

OD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．

则A(1,0,0)，C(−1,0,0)，B(−1,4,0)．

∵EF⊥平面ABC，

∴直线BE与平面ABC所成的角为∠EBF=60∘．

∴DO=EF=BFtan60∘=23.

∴D(0,0,23).

可取平面ADC的一个法向量为m=(0,1,0)，

设平面ADB的法向量为n=(x,y,z)，

AB=(−2,4,0)，AD=(−1,0,23)，

则−2x+4y=018.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，

在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，

因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，又∠ADB+∠ADC=π，所以ABAC=BDDC，

因为AB=3AC，且DC=2，所以BD=6.所以BC=8．

(2)方法一;由AD是∠BAC的平分线得DBDC=ABAC=3，则BC=4DC，

在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=BCsin∠BAC ①，

在△ACD中，由正弦定理得ADsinC=DCsin∠BAC2 ②，

由 ① ②得ADAB=DCBC⋅sin∠BACsin∠BAC2，

又AB=3AC，AD=kAC，所以kAC3AC=14⋅2cos∠BAC2，则k=32cos∠BAC2，

因为cos∠BAC2∈(0,1)，

所以k∈(0,32).

方法二：由S△ABC=S△ABD+S△ADC，得12AB⋅ACsin∠BAC=1219.解：(1)由题意得f′(x)=1设所求切线的切点为(x0,y0即y−y0=∴2e2−(令t(x)=lnx+2x2−2又t(e)=0，所以方程lnx0+2所以，直线l的方程是y=1−4e(2)证明：∵f(x1)=f(即lnx1−由(1)知只要证2x1+又因为0<x1<x令x1x2=t，则0<t<1，欲证设函数ℎ(t)=lnt−2(t−1)所以函数ℎ(t)是(0,1)上的增函数，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0，即2(t−1)t+1所以f′((3)解法一：由题意得G(x)=ln则G′(x)=1x−ax+1=1−ax2+xx，令在(0,1+1+4a2a)上，G′(x)>0∴G(x)在(0,1+1+4a2a)上单调递增，在(1+1+4a已知G(x)=f(x)+x+lna又G(2a)=0，所以G(1+所以a的取值的集合为2．解法二：由题意得G(x)=lnx−a2x2+x+∵a>0，