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文档简介

三、立体的体积第4节一、微元法二、平面图形的面积定积分的几何应用

第6章表示为1、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某分布f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;2、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法称为微元法

(或元素法

)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节二、平面图形的面积设曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.

计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:

由得交点例2.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积例4.求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解:三、立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有例5.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a

时,就得半径为a的球体的体积例6.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.

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