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文档简介
二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用第5节一、微分的概念函数的微分
第2章一、微分的概念
引例:
一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x
的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x
在取得增量时,变到边长由其的微分,定义:
若函数在点的增量可表示为(A
为不依赖于△x
的常数)则称函数而称为记作即定理:
函数在点可微的充要条件是即在点可微,定理:函数证:
“必要性”
已知在点可微,则故在点可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点可导,则说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记例如,基本初等函数的微分公式(见P71表)又如,二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C
为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数例1.求解:例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.
在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:
上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意注数学中的反问题往往出现多值性,例如三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得的近似值.解:
设取则例4.求的近似值.解:例5.计算例6.有一批半径为1cm的球
,为了提高球面的光洁度,解:
已知球体体积为镀铜体积为V
在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,内容小结1.微分概念
微分的定义及几何意义
可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u
是自变量或中间变量)3.微分的应用近似
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