高考数学选填压轴题型第7讲与三角形相关的范围问题专题练习(原卷版+解析)

3/6第7讲与三角形相关的范围问题一．方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解．二．解题策略类型一转化为函数（三角函数或二次函数）解决【例1】在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（）A． B． C． D．【来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第二次适应性检测数学试题【例2】（2020·广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________．【例3】．（2020·湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为______.【举一反三】1．（2020·安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，，，则周长的取值范围是A． B．C． D．2．若是垂心，且，则（）A． B． C． D．【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题3．（2020·山东高考模拟）在圆内接四边形中,,,则的面积的最大值为__________．类型二结合不等式（基本不等式）求解问题【例1】已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【例2】（2020·江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．【例3】（2020湘赣十四校联考）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是【举一反三】1．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（）.A．9 B． C． D．【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题2．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（）A． B． C．3 D．23．（2020·河南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____．三．强化训练1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（）A．B．C．3D．42.（2020黑龙江省鹤岗市一模）中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则面积的最大值是（）A．B．C．D．3．（2020·山东高考模拟）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A． B．C． D．4．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（）A． B． C． D．【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）5．（2020·安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（）A． B． C． D．6、（2020山西省高考模拟）的内角的对边分别为，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（）A．2 B． C．3 D．7、（2020陕西省汉中市质检）在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（）A．B．C．2D．8.（2020湖南省湘潭市模拟）分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．（2020·山东高考模拟）曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A． B． C． D．10．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（）A． B． C． D．11．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A． B． C． D．13．若面积为1的满足，则边的最小值为（）A．1 B． C． D．2【来源】福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试题14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（）A．4 B． C．6 D．15．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为（）A． B． C． D．16．已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（）A． B．1 C．2 D．【来源】2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学（理）试题17．（2020·甘肃西北师大附中高考模拟）在锐角中，，则的取值范围是18．（2020·广东高考模拟）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．19．（2020·湖南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是20．（2020·湖北高考模拟）已知分别为的三个内角的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是21．（2020·河南高考模拟）在中，角所对的边分别是，已知，且，则的取值范围为22．（2020·江苏高考模拟）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.23．（2020·湖南高考模拟）在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．第7讲与三角形相关的范围问题第7讲与三角形相关的范围问题一．方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解．二．解题策略类型一转化为函数（三角函数或二次函数）解决【例1】在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（）A． B． C． D．【来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第二次适应性检测数学试题【答案】A【解析】由余弦定理知：在中，有，在中，有，则，由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，故，在三角形中，易知，，，当且仅当时等号成立，此时，故，故选：A.【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，从而得最值.【例2】（2020·广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________．【答案】【解析】【分析】设，，，则的面积，在中，运用余弦定理，表示出，根据是以为顶点的等腰直角三角形，得到，代入面积公式，利用三角函数即可求面积的最大值．【详解】在中，设，，在中，，，由余弦定理，可得，由，当且仅当时取等号，即有，由于则，利用余弦定理可得：，化简得：，又因为是以为顶点的等腰直角三角形，则，在中，由正弦定理可得：，即：，则，由于，即所以的面积当时，取最大值1，所以的面积的最大值为【例3】．（2020·湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为______.【答案】1【解析】【分析】先求出，再证明，再利用二次函数的图像和性质求的最大值得解.【详解】由题得，由基本不等式得又因为，所以所以,所以，所以，.此时，故答案为1【举一反三】1．（2020·安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，，，则周长的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【解析】∵是和的等差中项，∴，∴，又，则，从而，∴，∵，∴，所以的周长为，又，，，∴．故选B．2．若是垂心，且，则（）A． B． C． D．【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题【答案】D【解析】在中，，由，得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，，所以同乘以得，因为，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故选：D.3．（2020·山东高考模拟）在圆内接四边形中,,,则的面积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：由,,可知为直角三角形，设设∠BAD=，则，，从而，求二次函数的最值即可.详解：由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，设∠BAD=，AB=2r，则，，在中，，即，∴，∴令t=，则当，即时，的最大值为类型二结合不等式（基本不等式）求解问题【例1】已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得、，设椭圆上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，，设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，令得，，即，，则设与的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得：，，又，，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为故选：A【例2】（2020·江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】由正弦定理化简边角关系式，可整理出；根据，结合两角和差正切公式可得到；利用换元的方式可将问题转变为求解的最小值的问题；根据锐角三角形特点可求出，从而利用基本不等式求解出最小值.【详解】由正弦定理可得：得：，即又令，得：为锐角三角形得：，即当且仅当，即时取等号【例3】（2020湘赣十四校联考）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是【答案】【解析】又又，当且仅当时取等号设，即当时，恒成立设则可知可得：【举一反三】1．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（）.A．9 B． C． D．【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题【答案】C【解析】因为，所以，因为的面积为，所以，所以，所以，，，由于，所以，所以，所以由余弦定理得：，即.所以，因为为线段上的点（点不与点，点重合），所以，根据题意得所以所以，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：C.2．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（）A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴.由于，∴，两边平方，得，当且仅当时取等号，即，∴线段长度的最小值为.故选：A.3．（2020·河南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____．【答案】【解析】由题得由题得所以,当且仅当时取等号.所以的最大值为,故填点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点三．强化训练1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（）A．B．C．3D．4【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选C.2.（2020黑龙江省鹤岗市一模）中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，由正弦定理得，又由在中，，即，即，因为，所以，在中，由余弦定理可知，且，即，当且仅当时，等号成立，即，所以的最大面积为，故选A.3．（2020·山东高考模拟）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若，，,，，,由正弦定理得，即，则b的取值范围为,故选C.4．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（）A． B． C． D．【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）【答案】C【解析】∵为锐角三角形，且，∴，∴，，又∵，∴，又∵，，∴，由，即，∴，令，则，又∵函数在上单调递增，∴函数值域为，故选：C5．（2020·安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴.又，∴，∴.又∵在锐角中,,∴，当且仅当时取等号，∴，故选A.6、（2020山西省高考模拟）的内角的对边分别为，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】因为的面积为，所以整理得，即，，因为，所以又因为周长为6，所以，即所以，，所以的最小值是2，故选A7、（2020陕西省汉中市质检）在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.8.（2020湖南省湘潭市模拟）分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，，则，，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.9．（2020·山东高考模拟）曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y＝x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．【详解】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当2＝2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选：C．10．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：因为平面，，所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大.设，则，，所以.所以，当，即时，最大.当时，，则.将三棱锥放入直三棱柱中，，分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为，则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为，如图所示：根据正弦定理，解得，所以.故外接球体积.故选：D11．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，可得：，即，因为为锐角三角形，则有，即，解得：.=，当时，原式有最大值，此时，则，，，即，所以.故选：A.12．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故选：C13．若面积为1的满足，则边的最小值为（）A．1 B． C． D．2【来源】福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试题【答案】C【解析】的面积，且，，，根据余弦定理得：，即，可得，，则，解得：，即边的最小值为.故选：C.14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（）A．4 B． C．6 D．【答案】C【解析】解法一：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，由，得，由得，则，所以，因为，所以，则，当且仅当时等号成立，的周长为，易知是关于的增函数，所以当时，的周长最小，为；解法二：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6．故选：C15．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，在中，由正弦定理得，即整理得，由余弦定理得，因为，所以，在中，由余弦定理得，所以当时，．故选：C16．已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（）A． B．1 C．2 D．【来源】2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学（理）试题【答案】C【解析】法一：角靠拢，形助兴，整理得：，，如图有：由，可得，代入，整理可得：，．法二：，得：．法三：，，，得，由正弦定理，得，．，如图可得：，，，．17．（2020·甘肃西北师大附中高考模拟）在锐角中，，则的取值范围是【答案】【解析】在锐角中，，由正弦定理可得，===在锐角中有，，可求得结合余弦函数的图像与性质可得．18．（2020·广东高考模拟）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析