专题14 不等式与参数方程（老师版）

专题14不等式与参数方程一、解答题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，求证：，恒成立.【答案】（1）或：（2）证明见解析【解析】(1)，若,则有或或,解得或或,因此不等式的解集为或;(2)由函数的解析式可知,在上单调递减,在上单调递增,因此,即证恒成立,即证恒成立,即证恒成立,而对,恒成立,因此,原不等式得证.2.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将直线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的倍得到直线.（1）求直线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值及此时点的坐标.【答案】（1）直线的普通方程为；（2）点到直线的距离的最小值为，此时点的坐标为.【解析】(1)设直线上的点为,由题可知,又,所以,即,因此直线的普通方程为:;(2)点到直线的距离,所以当时,,此时.3.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．【答案】（1）曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为：；（2）．【解析】（1），所以所以曲线的普通方程为；所以曲线的直角坐标方程为：．（2）的参数方程转化为标准形式为（t为参数），代入得，点的直角坐标为，设，是A，B对应的参数，则，．∴4.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，求的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，得，故曲线的普通方程是.由，得，得，得，代入公式得.故直线的直角坐标方程是；（2）因为原点到直线的距离为，曲线表示圆心为，半径的圆.又到直线的距离，所以.所以.5.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，即为.①当时，不等式可化为，解得，故；②当时，不等式可化为恒成立，故；③当时，不等式可化为，解得，故.综上所述，不等式的解集为；（2）.因为，，所以只需，平方得，解得.所以实数的取值范围是.6.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】已知实数正数x，y满足.（1）解关于x的不等式；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解得，所以不等式的解集为（2）且，.当且仅当时，等号成立.7.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】设为椭圆：上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.（Ⅰ）写出参数方程和普通方程；（Ⅱ）求最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）(为参数),（Ⅱ），【解析】（Ⅰ）由题意可得的参数方程为：（为参数），又∵，且，，∴的普通方程为，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设，圆的圆心，则，∵，∴当时，；当时，.当时，；当时，.8.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】已知函数（1）求不等式的解集（2）设，证明：.【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】（1）∵，∴.当时，不等式可化为，解得，∴；当,不等式可化为，解得，无解；当时，不等式可化为，解得，∴.综上所述，或.（2）∵，要证成立，只需证，即证，即证,即证.由（1）知，或，∵，∴，∴成立.综上所述，对于任意的都有成立.9.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】（1）,（2）或.【解析】（1）的