北京市第一零一中学2024-2025学年高三上学期统考二（10月）数学试题 含解析

北京一零一中2024－2025学年度第一学期高三数学统考二一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算集合,再计算结果，判断选项.【详解】由x>0，则，当且仅当，即x=1取等号，则，故.故选：A2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数对应的点求出复数，，计算，得复数的虚部.【详解】在复平面内，复数，对应点分别为，，则，，得，所以复数的虚部为.故选：D3.若，给出下列不等式：①；②；③．其中正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐一判断各个不等式即可.【详解】因为，所以，，故①正确；因为，所以，，故②正确；因为，所以，又，故③正确.故选：D4.某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据函数图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得，，解得，所以，，将图象向左平移单位后得到的图象.故选：A5.在菱形中，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的几何特征结合向量加法的法则，得，得到，利用余弦定理即可求解.【详解】在中，连接，根据菱形的几何性质有，有：对边互相平行，四条边均相等，所以，且，所以，所以，根据向量加法的三角形法则有，，所以；又因为，，所以，在，，，由余弦定理有：，所以.故选：B6.在ΔABC中，“,b=,”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】在三角形中，根据正弦定理，分别求解的值，反之利用正弦定理求得，得到，再根据充分不必要条件的判定方法，即可求解.【详解】在ΔABC中，由正弦定理可得，解得，又由，则，所以，又由在ΔABC中，若，则，由正弦定理，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中在三角形中合理使用正弦定理，及充分不必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是A B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由图象可知，且，，可知的两根为，由韦达定理得，异号，同号，又，异号，只有选项符合题意，故选B.8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．故选：A.9.已知．若存在最小值，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令，；，，①当时，上单调递减，在上单调递减，易知在上的值域为，又因为存在最小值，只需，解得，又由，从而；②当时，在上单调递减，在上单调递增，又因为存在最小值，故，即，解得，，这与矛盾；③当时，，易知的值域为，显然无最小值；④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.综上所述，实数的取值范围为.故选：A.10.已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（）A.48 B.50 C.52 D.54【答案】D【解析】【分析】根据可得，由累加迭代法可得，进而可得，由得，进而根据等比数列的求和可得，两种情况结合可得进而可求解.【详解】由，得，由累加法，当时，，因此，即得；所以，当时，，故；由，得所以，以此类推，得，因此，即，得；又，所以，即；综上可知，，故满足条件的正整数所有可能取值的个数为个.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式将数列an的通项公式通过放缩法和累加法可求得且，再由解不等式即可得出正整数的所有可能取值.二、填空题共5小题.11.若等边三角形的边长为，平面内一点满足，则______.【答案】-2【解析】【详解】试题分析：以点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.考点：向量的坐标运算.12.已知角，的终边关于直线对称，且，则，的一组取值可以是______．【答案】，（答案不唯一，符合，，或，，即可）【解析】【分析】由条件角的终边关于直线对称可得，由可得或，，解方程求，即可.【详解】因为角，的终边关于直线对称，所以，，又，所以或，，所以，，或，，取，时，可得，或，所以，的一组取值可以是，.故答案为：，.13.在数列中，，，，则______．【答案】【解析】【分析】根据数列的递推公式，利用迭代法，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可.【详解】由得，，又由得，，，，，由此可得数列为周期数列，周期为，又因为，所以，故答案为：.14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为函数在区间上单调递增所以在区间恒成立，因为，所以在区间恒成立所以因为，所以所以的取值范围是考点：1．恒成立问题；2．导函数的应用．15.设,函数,若fx恰有两个零点，则的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．【详解】（1）当时，，即，若时，，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，，此时成立．（2）当时，，即，若时，，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为．所以，当函数有两个零点时，且．故答案为：．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.（1）求数列的通项公式；（2）设等比数列满足，，求数列的前项和.条件①：；条件②：；条件③：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）若选择①②作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差d，代入公式即可求得答案；若选择②③作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差，根据，即可求得，代入公式即可求得答案；（2）根据题干条件，结合（1）可求得，的值，代入公式，即可求导、q，进而可得，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案.【详解】解：(不能选择①③作为已知条件)若选择①②作为已知条件.因为，，所以数列是以为首项，公差的等差数列.所以.若选择②③作为已知条件.因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.因为，所以.所以，解得.所以.（2）设等比数列的公比为，结合（1）可得，，所以，所以.所以等比数列的通项公式为.所以所以.17.已知向量，，函数．（1）求函数在上的最值，并求此时的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数的图象．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，求的面积．【答案】（1）最大值为，此时；最小值为，此时；（2）.【解析】【分析】（1）由向量的数量积及三角恒等变换得，根据，结合三角函数的性质求解即可；（2）由图象的平移及伸缩变化可得，再由，可得，由余弦定理可得，最后由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】解：因为，当时，，所以当，即时，取最小值，为；当，即时，取最大值，为；所以在上的最大值为，此时；最小值为，此时；【小问2详解】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得，再将的图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，，由余弦定义可得：，所以，解得，所以.18.如图所示，已知中，为上一点，．（1）求；（2）若，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由两角差的正弦展开式求出，在中由正弦定理可得答案．【小问1详解】在中，由正弦定理可得，所以，又因为，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，由（1）结论，计算可得，法1：由正弦定理可知，又，所以，由余弦定理可得，化简整理得，解得．法2：因为且，所以，由题意可得，所以，所以，在中，由正弦定理可得，所以．19.已知函数（）.（I）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最小值.【答案】（I）（II）见解析【解析】【分析】（I）根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得切线方程（Ⅱ）先求导函数零点，再根据零点与定义区间位置关系分类讨论，最后根据对应函数单调性确定最值【详解】解：（I）当时，，，所以在点处的切线方程为，即（II），，①当时，在上导函数，所以在上递增，可得的最小值为；②当时，导函数的符号如下表所示—0＋极小所以的最小值为；③当时，在上导函数，所以在上递减，所以的最小值为【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题20.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求、的值；（2）如果当，且时，，求的取值范围．【答案】（1），（2）（-，0]【解析】【详解】（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，．（2）由（1）知，所以．考虑函数，则．(i)设，由知，当时，，h(x)递减．而故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,故(x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．（iii）设k1.此时，（x）>0而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（-，0]点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，看是否符合题意．求的答案．此题用的便是后者．21.已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．（1）若数列的通项公式为写出集合A与集合B；（2）若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；（3）若满足，证明：．【答案】（1），（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）定义，可知，结合题中通项公式分析求解；（2）根据题意可知，可得，即可分析证明；（3）由题意可知：，可知集合在均不在元素，分类讨论集合是否为空集，结合题意利用数学归纳法分析证明.【小问1详解】定义，由题意可知，若数列an的通项公式为，可知，所以，因为2只能写成，不合题意，即；，符合题意，即；，符合题意，即；，符合题意，即；，符合题意，即；，符合题意，即；所以.【小问2详解】因为，由题意可知：，且，即，因为，即存在不相同的项，使得可知，所以.【小问3详解】因为，令，可得，则，即，即集合在内均不存在元素，此时我们认为集合在内的元素相同；（i）若集合A是空集，则B是空集，满足；（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知，由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且，设存在，使得，可知集合在内的元素相同,可知，则，因，即，则，可知，