赣州市章贡区2021年八年级上学期《数学》期末试题和参考答案

9/22赣州市章贡区2021年八年级上学期《数学》期末试题和参考答案一、选择题本大题共6小题，每小题3分，共18分。1．垃圾分类功在当代利在千秋，如图垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】利用轴对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）A．40cm B．70cmC．100cm D．130cm【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：根据三角形三边关系，∴三角形的第三边x满足：70﹣30＜x＜30+70，即40＜x＜100，故选：B．3．下列计算正确的是（）A． B．（a2）3＝a5 C．a﹣1÷a﹣3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2【分析】分别根据任何非零数的零次幂等于1，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，负整数指数幂的定义以及完全平方公式逐一判断即可．解：A、，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；C、a﹣1÷a﹣3＝a﹣1+3＝a2，故本选项符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意．故选：C．4．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点处 B．△ABC三条高所在直线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边的垂直平分线的交点处【分析】根据题意和线段垂直平分线的性质，可以解答本题．解：因为到A、B、C三地的距离相等，所以中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，故选：D．5．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（）A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质化简即可．解：＝＝，即分式的值扩大到原来的3倍，故选：A．6．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B．C． D．不能确定【分析】过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE＝EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM＝CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．解：过P作PM∥BC，交AC于M；因为△ABC是等边三角形，且PM∥BC，所以△APM是等边三角形；又因为PE⊥AM，所以AE＝EM＝0.5AM；（等边三角形三线合一）因为PM∥CQ，所以∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；又因为PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中所以△PMD≌△QCD（AAS）；所以CD＝DM＝0.2CM；所以DE＝DM+ME＝0.5（AM+MC）＝0.5AC＝0.5，故选：B．二、填空题本大题共6小题，每小题3分，共18分。7．因式分解：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．8．当x＝﹣1时，分式值为0．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．解：根据题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0解得：x＝﹣1故答案是：＝﹣19．已知10a＝2，10b＝3，则102a+3b＝108．【分析】根据幂的乘方进行计算即可．解：因为10a＝2，10b＝3，所以102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝4×27＝108，故答案为108．10．如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加条件∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD，证明全等的理由是ASA或AAS或SAS．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．解：①∠E＝∠F两角及夹边对应相等的两个三角形全等②∠ECA＝∠FBD两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等③AB＝CD，AC＝BD，两边及夹角对应相等的两个三角形全等故答案为∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD；ASA或AAS或SAS．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1，AC＝，E、F分别是AC、BC上的动点，则BE+EF的最小值是．【分析】延长BA至D，设DA＝BA，作DF⊥BC于F，交AC于E，根据线段垂直平分线的性质以及垂线段最短即可得到BE+EF的最小值是DF的长．解：延长BA至D，设DA＝BA，作DF⊥BC于F，交AC于E，此时，BE+EF的值最小，最小值为DF，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，所以∠ABC＝60°，因为AB＝1，所以BD＝2，所以DF＝BD＝×2＝，故答案为．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm．动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥MN于E，QF⊥MN于F．则点P运动时间为或秒时，△PEC与△QFC全等．【分析】根据全等三角形的性质得到CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，列方程即可得出答案．解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，因为△PEC≌△QFC，所以斜边CP＝CQ，有2种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，CP＝5﹣t，CQ＝12﹣3t，所以5﹣t＝12﹣3t，所以t＝；②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，所以CP＝5﹣t＝3t﹣12，所以t＝；综上所述，点P运动时间为或秒时，△PEC与△QFC全等，故答案为：或．三、解答题本大题共5小题，每小题6分，共30分。13．（1）计算：（2﹣1）0﹣|﹣6|+（0.5）﹣2．（2）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2．【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可得到答案；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得到答案．解：（1）原式＝1﹣6+4＝﹣1；（2）原式＝a2﹣1﹣a2+4a﹣4＝4a﹣5．14．解方程：﹣1＝【分析】本题是分式方程，去分母后把分式方程转化为整式方程，求解检验即可．解：方程两边乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3整理，得x＝1检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，所以原方程无解．15．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2﹣4a+1＝0．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由a2﹣4a+1＝0，可以得到a2﹣4a＝﹣1，再代入化简后的式子即可解答本题．解：（﹣）÷＝[]＝＝＝＝＝，因为a2﹣4a+1＝0，所以a2﹣4a＝﹣1，当a2﹣4a＝﹣1，原式＝＝．16．如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠DEC，全等三角形对应边相等可得BC＝EC，根据等边对等角可得∠B＝∠BEC，从而得到∠BEC＝∠DEC，再根据角平分线的定义证明即可．【解答】证明：因为△ABC≌△DEC，所以∠B＝∠DEC，BC＝EC，所以∠B＝∠BEC，所以∠BEC＝∠DEC，所以CE平分∠BED．17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．【分析】（1）连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P'，判断出△ABP'≌△ACP即可得出结论；（2）借助（1）的方法即可得出结论．解：（1）如图①，点P'为所求作的图形，理由：因为AB＝AC，AD⊥BC，所以∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，所以AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P'，所以BH＝CH，所以∠HBC＝∠HCB，所以∠ABP'＝∠ACP，因为AB＝AC，∠BAP'＝∠CAP，所以△ABP'≌△ACP，所以AP'＝AP，（2）如图②，点P'为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP'．18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，直接写出P的坐标为（0，0）；（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有4个．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求作．（3）分三种情形讨论求解即可．解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作．（2）如图，点P即为所求作，P（0，0），故答案为：（0，0）．（3）如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为顶点的等腰三角形有一个，Q为顶点的等腰三角形有一个，共有4个．故答案为4．19．已知△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．（1）∠B＝50°，∠C＝70°，求∠EDA的度数；（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．【分析】（1）直接利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得出答案；（2）过D作DF⊥AC于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝0.5×AB×DE+0.5×AC×DF进行计算即可．解：（1）因为∠B＝50°，∠C＝70°，所以∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD＝0.5∠BAC＝0.5×60°＝30°，因为DE⊥AB，所以∠DEA＝90°，所以∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）如图，过D作DF⊥AC于F，因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以DF＝DE＝3，又因为AB＝10，AC＝8，所以S△ABC＝0.5×AB×DE+0.5×AC×DF＝0.5×10×3+0.5×8×3＝27．20．某中学教学楼需要在规定时间内改造完以迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如表（部分信息）：甲（1）施工一天，需付甲工程队2.1万元；（2）单独完成这项工程可提前两天完成．乙（1）施工一天，需付乙工程队工程款1万元；（2）单独完成这项工程会延期8天才可以完成．学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队单独施工；②由乙工程队单独施工；校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：（1）学校规定的期限是多少天？（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【分析】（1）设该工程的规定时间为x天，等量关系为：甲乙合作4天的工作总量+乙做（规定天数﹣4）天的工作量＝1，依此列出方程求解即可；（2）根据已知算出各种方案的价钱之后，再根据题意进行选择．解：（1）设该工程的规定时间为x天，则甲队需要（x﹣2）天完成，乙队需要（x+8）天完成，根据题意，得：4×+x×＝1，解得：x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的根，答：学校规定的期限是12天；（2）选择方案③，理由如下：由于不耽误工期，故方案②舍去，只能选择方案①与方案③．方案①：由甲队单独施工，10天完成，其费用为10×2.1＝21（万元）；方案③：由甲乙合作4天，再由乙队施工8天，其费用为4×2.1+12×1＝20.4（万元）；所以选择方案③进行施工．21．阅读下列材料利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系．因为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．所以x2﹣2x+3＞0（填“＞”、“＜”、“＝”）（2）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．【分析】（1）利用配方法将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，利用非负数的性质判断x2﹣2x+3与0的大小关系；（2）利用矩形的面积公式解答；（3）利用作差法比较（2）中S1与S2的大小．解：（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2，因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+2＞0故答案为：1，2；＞；（2），；（3）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1因为（a﹣3）2≥0所以（a﹣3）2+1＞0，所以S1﹣S2＞0，所以S1＞S2．22．已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；（2）如图1，请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE＝63°，由三角形内角和定理得出∠EAB＝54°，推出∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，即可得出结果；（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，由中线的性质得出BD＝CD，由SAS证得△BDH≌△CDA得出HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，得出AC∥BH，由平行线的性质得出∠ABH+∠BAC＝180°，证得∠EAF＝∠ABH，由SAS证得△ABH≌△EAF，即可得出结论；（3）由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，得出EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF得出∠AEG＝∠BAD，由SAS证得△EAG≌△ABD得出∠EAG＝∠ABC＝70°，由已知得出∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，推出∠BAC＝55°﹣0.5∠CAF，由三角形内角和定理得出∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，即可得出结果．【解答】（1）解：因为AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABE＝63°，所以∠EAB＝54°，因为∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，所以∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，所以54°+2×45°+∠FAC＝180°，所以∠FAC＝36°；（2）EF＝2AD；理由如下：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图1所示：因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD，在△BDH和△CDA中，所以△BDH≌△CDA（SAS），所以HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，所以AC∥BH，所以∠ABH+∠BAC＝180°，因为∠EAF+∠BAC＝180°，所以∠EAF＝∠ABH，在△ABH和△EAF中，所以△ABH≌△EAF（SAS），所以EF＝AH＝2AD；（3）；理由如下：由（2）得，AD＝0.5EF，又点G为EF中点，所以EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF，所以∠AEG＝∠BAD，在△EAG和△ABD中，所以△EAG≌△ABD（SAS），所以∠EAG＝∠ABC＝70°，因为∠EAF+∠BAC＝180°，所以∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，所以∠BAC+0.5∠CAF＝55°，所以∠BAC＝55°﹣0.5∠CAF，因为∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，所以∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，所以55°﹣0.