重点突围：专题2 二次根式分母有理化与规律探究（解析版）-人教八下期中综合复习

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题2二次根式分母有理化与规律探究【典型例题】1．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）先阅读理解，再回答下列问题：······观察左边的解答过程请直接写出结果：；请你总结上面的规律(不要证明)，当为自然数时：；利用中总结得到的规律计算：；【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意中规律可得结果；（2）根据题意规律可得；（3）把式子按上述规律化简，即可求得结果．【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3）根据上述规律：，故答案为：．【点睛】本题考查了分母有理化的内容，读懂题意，运用平方差公式消去分母中的根号是解题的关键．【专题训练】一、解答题1．（2020·全国·八年级期末）计算：．【答案】【解析】【分析】先分母有理化和化简二次根式，再依据运算法则计算即可．【详解】解：原式===【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式的运算法则进行计算．2．（2021·上海普陀·八年级期末）计算：．【答案】【解析】【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则．3．（2021·上海市莘光学校八年级期中）计算：．【答案】【解析】【分析】先计算二次根式的乘法与除法，再去括号，合并同类二次根式即可.【详解】解：【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.4．（2021·全国·八年级课时练习）判断以下列各式是否成立：；；．类比上述式子，再写出两个同类的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．【答案】以上都成立，，，（n＞1），证明见解析【解析】【分析】类比上述式子，即可写出几个同类型的式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来，再证明即可求解．【详解】解：；；．所以以上都成立．举例如下：，，规律是：（n＞1）证明：设n为大于1的正整数，左边右边，所以成立，【点睛】此题主要考查了列代数式，二次根式的性质与化简，正确得出数字之间变化规律是解题关键．5．（2022·浙江·九年级专题练习）观察下列各式：①；②；③；④．根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：（1）写出第⑤个式子：____________；（2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明．【答案】（1）；（2），见解析【解析】【分析】（1）从两个角度去思考：一是序号与右边根式前面的整数的关系，二是这个整数与分数的分母之间的关系，确定好规律好，问题自然得解；（2）利用特殊与一般的关系推广即可【详解】（1）∵右边根式前面的整数等于序号+1，分数的分母等于这个整数的平方减去1，∴第⑤个式子：，故答案为：；（2）第个式子：.证明如下：===.【点睛】本题考查了二次根式背景下的规律探索问题，准确找出序号与右边根式前面的整数的关系，这个整数与分数的分母之间的关系是解题的关键．6．（2021·辽宁抚顺·八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；（1）请仿照上面的方法来验证；（2）根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质将进行化简即可；（2）对已有的式子进行观察可发现，等式左边的被开方数为一个整数与一个分数的和，且分数的分子为1，分母等于整数加2，等式右边二次根式前的系数比等式左边被开方数中的整数大1，被开方数为等式左边被开方数中的分数，由此归纳得出，再利用二次根式的性质将进行化简即可证明．【详解】解：（1）验证：，故成立；（2），验证：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及逻辑推理，解题关键是运用特殊到一般的推理方法，即通过简单、特殊的例子发现规律，并进行一般化的推广，然后运用数学语言来表达规律．7．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）观察下列等式：①；②；③．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；（3）利用上述结果计算：．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用题中等式的计算规律即可得到；（2）根据题目中式子的特点，找到第n个等式的左边和右边，然后计算即可；（3）利用（2）的结论得出，再裂项计算即可；【详解】解：（1）∵①；②；③∴第⑤个式子是：（2）第n个等式为证明：左边右边（3）原式【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．8．（2021·全国·八年级期中）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；还可以用以下方法分母有理化：．(1)请用不同的方法分母有理化：；(2)化简：．【答案】(1)，见解析(2)1【解析】【分析】（1）法一：原式；法二：，进行求解即可；（2）：原式化简求解即可．(1)解：法一：；法二：；(2)解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．9．（2021·河北滦州·八年级阶段练习）阂读材料，回答问题：观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1．请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：（1）猜想：＝＝；（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n．（n为正整数）表示的等式：；（3）应用：用上述规律计算．【答案】（1）；；（2）（或）（3）．【解析】【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；③利用发现的规律将原式变形得出答案．【详解】（1）=（2）（或）（3）【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．10．（2022·湖南怀化·八年级期末）阅读并解答问题：……上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：(1)将的分母有理化；(2)已知，，求的值；(3)计算【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根据所给“分母有理化”的规律即可求解；（2）根据所给“分母有理化”的规律分别求出a和b的值，再相加即可．（3）根据所给“分母有理化”去分母，再进行加减混合计算即可．(1)解：．(2)解：，，∴．(3)解：，，，，．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式分母有理化，读懂题干，掌握分母有理化的方法和规律，注意分母中被开方数差1与被开方数差2的不同结果是解答本题的关键．11．（2022·北京石景山·八年级期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：______（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．①化简：______；②若（a，b均为正整数），则的值为______．【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；②【解析】【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；（4）①②根据（2）中的规律即可求解．【详解】解：（1），故答案是：；（2），故答案是：；（3）证明：左边，又右边，左边右边，成立；（4）①，故答案是：；②，根据，得，解得：，（舍去），，故答案是：．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．12．（2021·江西·吉安三中八年级期中）观察与计算：6；2；；．象上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；【应用】（1）化简：①；②．（2）化简：【答案】（1）观察与计算：－7；18；应用：（1）①；；（2）【解析】【分析】观察与计算：根据二次根式的乘法和平方差公式求解即可；应用：（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）先对原式每一项进行分母有理化即可得到，由此求解即可．【详解】解：观察与计算：，，故答案为：-7，18；应用：（1）①；②；（2）原式＝＝＝＝＝=．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，平方差公式和分母有理化，解题的关键在于能够准确理解题意进行求解．13．（2021·广东·道明外国语学校八年级期中）观察下列等式：①②③······回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：．（2）．（n为正整数）（3）利用上面所揭示的规律计算：【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据平方差公式分母有理化即可；（2）根据平方差公式分母有理化即可；（3）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可；【详解】（1）；故答案是：；（2）；故答案是：；（3），，；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键．14．（2022·湖南岳阳·八年级期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题，观察下列等式：直接写出以下算式的结果：______；（n为正整数）＝______；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：，，再根据平方根的定义可得，，直接写出以下算式的结果：______，______，______：（3）王老师编的题，根据你的