《抛物线的标准方程》教学设计二

高中数学精选资源3/3《抛物线的标准方程》教学设计二教学设计一、创设情境，激发兴趣视频讲述有关阿基米德的故事，引出抛物线.传说公元前215年，古罗马帝国派强大的海军，乘战舰攻打古希腊名城叙拉古.小小的叙拉古难敌来势汹汹的古罗马大军，人们就把希望寄托在居住在这里的阿基米德身上.当时年过古稀的阿基米德，虽然没有绝世的武功，却有聪明的头脑.他挺身而出，发动全城的妇女拿着自己的铜镜来到海岸边，在阿基米德的指挥下，大家站成一条完美的曲线，让手中的铜镜反射的太阳光恰好集中照射到敌舰的船帆上.顿时，敌舰起火，不可一世的古罗马海军大败而归.究竟是怎样的曲线才能有如此强大的威力呢？设计意图：通过视频故事激发学生学习兴趣，引出本节课的主要研究对象，同时设置伏笔，为抛物线的应用做好铺垫，培养学生的直观想象能力.二、探究新知1.师生探究，抽象定义.结合信息技术，动态作图.作图步骤：点F是定点；l是不经过点F的定直线；H是l上任意一点；过点H作直线l的垂线n;作线段FH的垂直平分线m交n于点M;拖动点H，观察点M的轨迹.问题1：过点H的直线n与直线l垂直，说明了什么？教学预设：点M到直线l的距离恰好为线段MH的长.问题2：点M在线段FH的垂直平分线上，有什么特点？教学预设：线段MF的长等于线段MH的长，进而点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等.设计意图：通过这些问题的设计，让学生体会随着点H的移动，点M到定点F的距离与到定直线l的距离始终相等，进而引导学生抽象出抛物线的定义，提升学生的数学抽象核心素养.问题3：为什么要强调定直线l不经过定点F呢？（动态演示当直线l经过点F时点M的轨迹形状）定义：一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.设计意图：通过问题的方式，引起学生的注意，强化对“定直线不过定点”这个限制条件的认识，完善抛物线的定义.2.利用定义，绘制曲线.问题4：通过抛物线的定义，能不能在下图所给的图形中描出一条抛物线呢?设计意图：圆上的点到圆心的距离都相等，平行线上的点到定直线的距离都相等，所以可以借助此图形找到些到定点和到定直线距离都相等的点，进而描出一条抛物线，通过这个练习，让学生进一步熟悉抛物线的定义，掌握定义的本质.3.建坐标系，求其方程问题5：对于确定的抛物线，如何选择坐标系能使所求的方程更简单呢？引导学生试着建立坐标系，同学之间互相借鉴对照，最后形成三个比较常见的方案（如图所示）.设计意图：引导学生自主提出问题，并从数学的角度分析问题，避免直接将结论强加给学生，注重知识的发生和发展过程，充分暴露结论的形成过程，引导学生学会处理类似数学问题的思路和方法，提升学生的数学运算核心素养.在学生充分尝试的基础上，教师和学生一起研究其中一个方案在板演的过程中，注重运算技巧的指导，同时强调引入p的意义是焦点与准线的距离，并以此说明为何p是大于零的.在得出其中一种方案后，启发学生有没有更简单的方法得到其他几种情况的方程，引导学生从曲线的平移这个角度得到曲线方程，进而简化运算过程.对比分析三种方案，最终选择形式较简单的方案二的结果作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标和准线方程.接着给出一个巩固性练习：若抛物线的标准方程是，你能说出它的焦点坐标和准线方程吗？设计意图：以此练习加强学生对抛物线标准方程的认识，初步熟悉方程中一次项的系数与焦点坐标和准线方程的关系.思考：如果建立的平面直角坐标系分别如下图的（1）（2）（3）所示，其他条件不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？此时能否通过得到抛物线的标准方程具有的形式呢？学生小组合作完成得出这三种情况下的抛物线的标准方程.设计意图：以此思考问题加强学生对抛物线标准方程的认识，使学生初步熟悉在各种情况下建立平面直角坐标系后的抛物线的标准方程.4.类比分析，对比记忆.总结常见的四种抛物线类型，分别写出其对应的标准方程、焦点坐标、准线方程.通过表格的形式，类比得出其他结论.在总结的过程中，从对称变换的角度简化运算，帮助学生记忆相关内容在推导开口向上的抛物线标准方程的过程中，学生可能会遇到困难，可以借助关于直线对称的两点的坐标关系来得出相应结论.设计意图：类比抛物线的四种常见形态，从变换的角度分析问题并得出结论,避免重复运算,同时对比记忆,有助于形成良好的知识网络.三、新知运用,巩固提高例1分别根据下列条件,求抛物线的标准方程和准线方程:（1）抛物线的焦点到准线的距离是3,而且焦点在轴的正半轴上;（2）抛物线的焦点是.解（1）根据题意可知,抛物线的标准方程具有的形式,而且,因此所求标准方程为.准线方程为.（2）因为抛物线的焦点坐标是,所以抛物线的标准方程具有的形式,而且,因此,从而所求抛物线的标准方程是.准线方程为.设计意图:巩固通过抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程的方法,以此来对比记忆标准方程的一般形式、开ロ方向,并进一步明确的几何意义.例2分别根据下列条件,求抛物线的焦点坐标和标准方程:（1）抛物线的焦点到轴的距离是2,而且焦点在,轴的正半轴上;（2）抛物线的焦点是双曲线的焦点之一.解（1）由已知可得焦点坐标为,因此抛物线的标准方程具有的形式,且,从而所求抛物线的标准方程是.（2）因为双曲线中,,又因为双曲线的焦点在轴上,所以焦点坐标为或,5).如果抛物线的焦点坐标为,则抛物线的标准方程具有的形式,且,此时抛物线的标准方程是；如果抛物线的焦点坐标为,则抛物线的标准方程具有的形式,且,此时抛物线的标准方程是.设计意图:对于没有明确抛物线的开ロ方向的类型,要学会从不同的角度进行分类讨论,进而增加思维的条理性和严密性.例3已知平面直角坐标系中,动点到的距离比到轴的距离大2,求的轨迹方程,并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线.解设的坐标是,则根据题意可知，化简得.当时,方程可变为,这表示的是端点在原点、方向为轴正方向的射线,且不包括端点,如图所示;当时,方程可变为,这表示的是焦点为的抛物线,如图所示.设计意图：通过利用抛物线的定义，结合已有的坐标系得到非“标准”方程，在巩固知识、熟练方法的同时，增强学生思维灵活性四、质疑反思，强化定义问题6：与初中学习的二次函数图像相比较，今天学习的抛物线与二次函数图像形式的抛物线是不是一回事呢？以为例，引导学生分析能否从标准方程和抛物线的定义角度出发得出结论能说明这一情况之后，再分析对于一般的二次函数是否会有相同的结论设计意图：和已经学过的知识做比较，进一步加强对抛物线定义的理解，同时完成相关知识体系的建构，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养五、回归应用，解决问题问题7：本节课最开始提到的问题，当光线从一定的方向射向抛物线时会被反射聚焦到焦点上，我们能从本节课所学的知识加以说明吗？如图所示，当光线入射到点M时，由物理学的知识可知，光线是按切线的方向进行反射的，只要能说明我们在开始作图的过程中提到的垂直平分线m是抛物线的切线，即可说明这个问题所以，问题转化为证明此直线是抛物线的切线而想要证明此直线是抛物线的切线，只需要用本课所学的抛物线标准方程与直线方程联立，看方程组的解的个数即可.设计意图：通过本节课所学的知识，解决课始提到的问题，提高学生的数学应用意识，同时培养学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.六、小结提升，布置作业1.小结：2.作业：（1）教材第153页练习A第1，2，3题.（2）请查阅资料，看看抛物线在生活中还有哪些应用？设计意图：巩固本节所学的知识，掌握抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程，同时因材施教，引导学生自己发现生活中的抛物线，让不同层次的学生均有收获，增加学生的数学素养.板书设计2.7.1抛物线的标准方程1.抛物线的定义一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线2.抛物线的标准方程3.例题例1例2例3教学研讨本节课的教学设计从故事中涉及的问题开始，到解决故事中的问题结束，整个环节较为完整，内容充实，学生的认知结构相对得到较为充分的补充.不过教学时有的地方还可以进行一些扩充，如可以增添一些有关轨迹的问题串：（1）平面内，到一个定点