人教版2024高中数学必修二第八章立体几何初步(四十九)

单选题1、《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，当△BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（

）A．B．C．D．答案：D分析：根据题意可证明，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.由题意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，故AB⊥

,又AC⊥CD，平面ABC，

故平面ABC，平面ABC，故,所以

,当且仅当时取得等号，故

,由AB⊥平面BCD，可知,故

,所以

,,所以鳖臑ABCD的表面积为

，故选：D2、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（

）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．矩形答案：B解析：利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.因为平面//平面,且平面平面,平面平面,根据面面平行的性质可知//,同理可证明//.所以四边形为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.3、“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（

）A．B．C．D．答案：C分析：求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.如图，该模型内层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，可知内层圆柱的高同理，该模型外层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，可知外层圆柱的高此模型的体积为故选：C4、过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（

）A．4B．C．2D．1答案：C分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心，则截面，AM在截面内，即有，故,所以

,即到该截面的距离是2，故选：C5、如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.6、在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（

）A．B．C．D．答案：B解析：根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为，则，由于三棱锥的表面积为，所以所以所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：．小提示：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7、已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．B．C．D．答案：C分析：根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.根据题意设底面的外心为，O为球心，所以平面，因为平面，所以，设是中点，因为，所以，因为平面，平面，所以，因此，因此四边形是平行四边形，故，由余弦定理，得，由正弦定理，得，所以该外接球的半径满足，故选：C．小提示：关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键.8、如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（

）A．B．C．D．答案：C分析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，所以拼成的几何体的表面积为.故选：C.多选题9、(多选题)下列说法中，正确的结论有（

）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行答案：BD分析：由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.故选：BD.10、矩形中，，，将此矩形沿着对角线折成一个三棱锥，则以下说法正确的有（

）A．三棱锥的体积最大值为B．当二面角为直二面角时，三棱锥的体积为C．当二面角为直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为D．当二面角不是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积小于答案：ABC分析：求出点C到平面ABD的最大距离即可计算棱锥的最大体积判断选项A，B；求出三棱锥的外接球的半径即可判断选项C，D作答.过C作于E，在平面DBA内过E作BD的垂线EG，则为二面角的平面角，如图，平面CEG平面DBA，过C作CFEG于F，则平面，在直角中，，，显然，当且仅当点E与F重合时取“=”，即点C到平面ABD距离的最大值为，而，则三棱锥的体积最大值为，A正确；当取最大值时，平面，又平面，则平面平面，即二面角为直二面角，三棱锥的体积为，B正确；取BD中点O，连接AO，CO，显然有，于是得点A，B，C，D在以O为球心，AO为半径的球面上，显然，无论二面角如何变化，点A，B，C，D都在上述的球O上，其表面积为，C正确，D不正确.故选：ABC11、在棱长为的正方体中，分别为的中点，则（

）A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为答案：BC解析：（1）求出所成的角，不为（2）通过证明面面平行，再到线面平行.即先证面面，再可以说明平面（3）先证面，则可说明，同理可得，则证明了垂直于平面内两条相交直线，故平面（4）找到过直线且与直线平行的平面即平面，求出面积即可A.

由图易知，又有，故为等边三角形，故与所成的角为所成的角为，故A错.B.

记中点为，易知，，则可知面，面故面面面，故平面.C.

四边形为正方形，

，又面，故

则面故同理故平面.D.记中点为，由B项可知，面面，故面，又面，故过且与直线平行的平面为如图所示的平面，面积为.

故选：BC小提示：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.12、如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（

）A．平面平面B．C．二面角的大小为D．与平面所成角的正切值为答案：ABC解析：先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误.由题易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；在平面内的射影为，又为正方形，所以，，故B正确；易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确；易知为与平面所成的角，又，，，所以，故D错误.小提示：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.填空题13、已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于､､的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.答案：解析：根据题中的垂直关系，确定球心，再根据球的表面积公式计算，再求点到平面的距离.由，，并且平面，平面，，且

平面，，是直角三角形和的公共斜边，取的中点，根据直角三角形的性质可知，所以点是三棱锥外接球的球心，设，则，则三棱锥外接球的表面积，，解得：,点到平面的距离.所以答案是：小提示：方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.14、如图，已知平面四边形中，△是边长为2的正三角形，，以为棱折成直二面角，若折叠后，，，四点在同一球面上，则该球的体积为___________.答案：分析：如图，折叠后，取的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，由，可得球心在上，设球半径为，求得半径R，再根据球的体积公式即可得出答案.解：如图，折叠后，取的中点，连接，因为是边长为