《导数与函数的极值、最值》教学设计

高中数学精选资源3/3《导数与函数的极值、最值》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图问题探究11.函数的极值情境与问题如图(1)所示,在群山之中,各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点.同样,各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处,但它却是其附近的最低点.观察图(2)中函数的图像,指出其中是否有类似山峰、山谷的地方,如果有,尝试用数学语言描述.结论:从图(2)中可以看出,函数在这三点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最大者;而在这两点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最小者.教师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.培养学生探索发现问题的能力.概念形成函数的极值与极值点一般地,设函数的定义域为,设,如果对于附近的任意不同于的,都有（1）,则称为函数的一个极大值点,且在处取极大值;（2）,则称为函数的一个极小值点,且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点.极大值与极小值都称为极值.教师引导学生通过函数图像理解极值点和极值的概念.通过师生互动，培养学生的数学抽象核心素养.问题探究22.导数与函数的极值探究1从下图所示的函数的图像中可以看出,对应的横坐标,都是函数的极值点.已知曲线在,处都存在切线.（1）处的切线具有什么特征?这说明在处的导数具有什么特点?（2）曲线在附近的点处的切线具有什么特征?提示:(1)曲线在处的切线平行于轴,这等价于.（2）在点与点左侧的附近,曲线的切线的斜率都大于0;在右侧的附近,曲线的切线的斜率都小于0.在点与点的附近则正好相反.因此,在两侧附近的符号不一样.结论:一般地,如果是的极值点,且在处可导,则必有.探究2已知,求所有使得0的,并判断所求得的数是否为函数的极值点.提示:不是函数的极值点.探究3若存在,“”是“是的极值点”的什么条件?提示:必要不充分条件.让学生自己根据函数图像发现导数与极值、极值点的关系.教师总结此结论，让学生理解.学生通过画出函数的图像，回答此问题.教师指导学生阅读教材第93页例1处的解答.通过探究2学生回答探究3.通过学生自己发现导数和极值点的关系，培养学生探究发现问题的能力.由探究2和探究3学生得出函数取得极值的条件.形成规律一般地,设函数在处可导,且.（1）如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有0,那么此时是的极大值点.（2）如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有0,那么此时是的极小值点.（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则一定不是的极值点.学生用自己的语言表达该规律，教师进行必要的修正.通过观察和讨论得出极值与极值点和导数的关系，培养学生抽象概括的能力.问题探究33.函数最值的求法尝试与发现观察下图所示函数的图像,回忆函数最值的定义,回答下列问题.（1）图中所示函数的最值点与最值分别是多少?（2）图中所示函数的极值点与极值分别是多少?提示:函数的最大值点为2,最大值为3;最小值点为0,最小值为;极大值点为,极大值为2;极小值点为0,极小值为.（3）一般地,函数的最值与函数的极值有什么关系?怎样求可导函数的最值?学生回顾函数最值的定义，自主完成“尝试与发现”中的问题（1）（2）.学生小组探究极值与最值的关系.通过讨论总结出求函数最值的方法.形成结论一般地,如果函数在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数的定义域为且存在最值,函数在内可导,那么函数的最值点要么是区间端点或,要么是极值点.教师引导学生理解极值点与最值点，极值与最值之间的关系.让学生体会解题方法的支撑点是对概念的理解和把握.应用举例例1已知函数,求函数的极值,并作出函数图像的示意图.解由题意可得.解方程,可得或.解不等式,可得或,此时递增.解不等式,可得,此时递减.因此,在上递增,在上递减,在上递增,而且.从而可知是函数的极大值点,极大值为;是函数的极小值点,极小值为；函数图像的示意图如图所示.练习:教材第96页练习A第2题.例2已知,求的极值点以及极值、最值点以及最值.解当时,解方程,可得或.解不等式,可得或1,此时递增.解不等式,可得,此时递减.因此,在上递增,在上递减,在上递增.由于,可知是函数的极大值点,极大值为；是函数的极小值点,极小值为.又因为,所以函数的最大值点为1,最大值为对任意实数都是成立的,因此函数的最小值点为0,而且最小值是0.学生分组练习,交流讨论,教师巡视,收集信息及时评价.教师指出:为了方便起见,也可以先将例1中的结论整理成如下表格的形式(表示递增,表示递减),然后再作示意图.结合例1,教师引导学生总结求函数极值的步骤.求可导函数的极值的步骤:（1）确定函数的定义区间,求导数;（2）求方程的根;（3）用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么在这个根处无极值.学生独立完成,集体订正答案.学生自主完成例2,教师引导归纳利用导数求函数最值的步骤.设函数在上连续,在内可导,则求在上的最大值与最小值的步骤如下:（1）求在内的极值;（2）将的各极值与比较,得出函数在上的最值.通过例题，使学生总结出利用导数求函数极值和最值的步骤，掌握新知识.课堂小结1.知识（1）利用导数求函数的极值；（2）利用导数求函数的最值.2.思想方法本节用到了数形结合的思想方法.学生归纳小结，教师补充完善.引导学生构建知识框架，从整体上把握本节内容.布置作业1.教材第96页练习A第3，4，5，6题.2.教材第96页练习B第4题.学生独立完成，教师批阅.通过练习巩固本节重点知识.板书设计导数与函数的极值、最值1.函数的极值与极值点一般地,设函数的定义域为,设,如果对于附近的任意不同于的,都有（1）,则称为函数的一个极大值点,且在处取极大值（2）,则称为函数的一个极小值点,且在处取极小值极大值点与极小值点都称为极值点极大值与极小值都称为极值2.导数与函数的极值一般地,如果是的极值点,且在处可导,则必有一般地,设函数在处可导,且.（1）如果对于左侧附近的任意,都有0,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极大值点（2）如果对于左侧附近的任意,都有0,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极小值点（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则一定不是的极值点3.函数