1531分式方程（讲练）-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)

15.3.1分式方程分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.注意：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.题型1：分式方程的定义1.给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程逐一进行判断．【解答】解：根据分式方程的定义可知：分式方程有＝2，＝，共有2个．故选：B．【点评】本题考查的是分式方程，解题的关键是掌握分式方程的定义．【变式11】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．【解答】解：方程①是分式方程，符合题意；方程②分母中含有未知数，符合题意；方程③整式方程，不符合题意；方程④是整式方程，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．【变式12】已知方程：①＝0，②＝1③x+＝2+④（x+）（x﹣6）＝﹣1．这四个方程中，分式方程的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1．【分析】利用分式方程的定义判断即可．【解答】解：①＝0，是分式方程；②+＝1，是分式方程；③x+＝2+，是分式方程；④（x+）（x﹣6）＝﹣1，不是分式方程，则分式方程的个数是3．故选：B．【点评】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．题型2：解分式方程2.解方程（1）＝；解：（1）去分母，得x＝2（x﹣2），解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的根；（2）＝．解：方程两边同时乘（x﹣3）（x﹣2），得：3（x﹣3）＝2（x﹣2）化简，得x﹣5＝0解得：x＝5检验：当x＝5时，（x﹣3）（x﹣2）≠0，∴x＝5是分式方程的解．（3）解方程：＝．【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验，即可得到答案．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，所以原分式方程的解为x＝﹣1．【点评】本题考查的是解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．【变式21】解分式方程：（1）﹣＝1（2）3﹣＝．【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．【解答】解：（1）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2+2＝（x+1）（x﹣1），解方程，得x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是原方程的根；（2）方程两边同乘以（x﹣2），得3（x﹣2）﹣（x﹣1）＝﹣1，解方程，得x＝2，经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【变式22】解方程：（1）．【分析】去分母、去括号、移项合并同类项即可求解．【解答】解：，x（x﹣1）+3＝x2﹣2x+1，x2﹣x+3＝x2﹣2x+1，x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是方程的根，∴原方程的解为x＝﹣2．（2）+＝【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣3x+6＝x2+3x，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．题型3：增根（无解）与求字母的值3.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2【分析】先解分式方程，得x＝m+1，再将增根代入即可求出m的值．【解答】解：去分母，得x﹣1＝m，∴x＝m+1，将增根x＝2代入，得2＝m+1，解得m＝1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的含义是解题的关键．【变式31】分式方程：﹣1＝有增根，求m值．【分析】根据去分母，可得整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，可得关于m的一元一次方程，解一元一次方程，可得答案．【解答】解：去分母，得m＝x﹣2．分式方程的增根是x＝1或x＝2．当x＝1时，m＝x﹣2＝1﹣2＝﹣1，当x＝2时，m＝x﹣2＝2﹣2＝0，当m＝0时，原分式方程转化为﹣1＝0，∴x﹣（x﹣1）＝0，此方程无解，原分式方程没有增根，∴m＝0与题意不符，舍去．综上所述：m＝﹣1．【点评】本题考查了分式方程的增根，把分式方程的曾根代入整式方程得出关于m的一元一次方程是解题关键．【变式32】若关于x的方程﹣1＝有增根．求m的值．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣1）（x+2）＝0，得到x＝1或﹣2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，整理得：x+2＝m，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）（x+2）＝0，解得x＝1或﹣2，当x＝1时，m＝3；当x＝﹣2时，m＝0，此时原方程为﹣1＝0，x﹣（x﹣1）＝0，这个整式方程无解，∴m的值为3．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式33】k为何值时，方程﹣＝1﹣会产生增根？【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣2﹣k（x+2）＝x2﹣4﹣4x，由分式方程有增根，得到x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：k＝2；把x＝﹣2代入整式方程得：无解，综上，k的值为2时，方程﹣＝1﹣会产生增根．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．题型4：根据文字列方程求值解4.当x为何值时，分式的值和分式的值互为相反数？【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：根据题意得：+＝0，去分母得：x+3+2＝0，解得：x＝﹣5，检验：把x＝﹣5代入得：（x+3）（x﹣3）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式41】已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点到原点距离相等，求x的值．【分析】根据A，B两点到原点距离相等得出两种情况：①＝，②＝﹣，再求出分式方程的解即可．【解答】解：有两种情况：①＝，方程两边乘x﹣3，得3＝﹣（7﹣2x），解得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣3≠0，所以x＝5是分式方程的解；②＝﹣，方程两边乘x﹣3，得3＝7﹣2x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣3≠0，所以x＝2是分式方程的解；综合上述：x的值是5或2．【点评】本题考查了解分式方程和数轴，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．【变式42】如图，点A、B在数轴上且点A在点B的左侧，它们所对应的数分别是和．（1）当x＝1.5时，求AB的长．（2）当点A到原点的距离比B到原点的距离多3，求x的值．【分析】（1）表示出AB的长，将x代入计算即可；（2）根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．【解答】解：（1）根据题意得：﹣＝，当x＝1.5时，AB＝＝3；（2）根据题意得：﹣＝3，去分母得：2﹣x+1＝6﹣3x，解得：x＝1.5，经检验x＝1.5是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型5：根据解的正负字母求取值范围5.已知关于x的方程的解为正数，求a的取值范围．【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知条件列出不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：关于x的方程的解为：x＝a﹣1，∵分式方程有可能产生增根x＝1，∴a﹣1≠1，∵关于x的方程的解为正数，∴，解得：a＞1且a≠2．∴a的取值范围为：a＞1且a≠2．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，考虑分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．【变式51】若关于x的方程有非负数解，求m得取值范围．【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，解得：x＝6﹣m，∵x≥0且x≠3，∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，解得：m≤6且m≠3，∴m得取值范围是m≤6且m≠3．【点评】本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．【变式52】若关于x的方程无解，求m的值．【分析】把分式方程化为x+4+m（x﹣4）＝m+3，整理为（m+1）x＝5m﹣1，分m+1＝0和m+1≠0两种情况讨论，即可得出答案．【解答】解：把分式方程去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，∴（m+1）x＝5m﹣1，当m+1＝0，即m＝﹣1时，整式方程无解则分式方程也无解，当m+1≠0时，（x+4）（x﹣4）＝0，即x＝4或﹣4，分式方程无解，把x＝4代入（m+1）x＝5m﹣1得：4（m+1）＝5m﹣1，解得：m＝5，把x＝﹣4代入（m+1）x＝5m﹣1得：﹣4（m+1）＝5m﹣1，解得：m＝﹣，综上所述，m＝﹣1或5或﹣时，分式方程无解．【点评】本题考查了分式方程的解，理解分式方程化为整式方程后，整式方程的解和分式方程的解的关系是解决问题的关键．题型6：分式方程与新定义问题6.定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算求出解即可确定出x的值．【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝1，即＝1，去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解为x＝5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式61】定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a⊗b＝﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2⊗3＝﹣＝+＝1．（1）求（﹣2）⊗3的值；（2）若x⊗2＝1，求x的值．【分析】（1）根据新定义型运算法则即可求出答案．（2）列出方程即可求出答案【解答】解：（1）原式＝﹣＝﹣3（2）由题意可知：﹣＝11﹣（x﹣2）＝x1﹣x+2＝xx＝经检验，x＝是原方程的解，【点评】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确利用运算法则，本题属于基础题型．一．选择题（共5小题）1．下列关于x的方程①＝x+y，②＝5，③＝x﹣3，④＝中，是分式方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据分式方程的定义，即可判断．【解答】解：下列关于x的方程①＝x+y，②＝5，③＝x﹣3，④＝中，是分式方程的有：②＝5，共有1个，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．2．若分式方程+＝有增根，那么增根的值为（）A．﹣4或6 B．﹣4或﹣6 C．2或﹣2 D．4或6【分析】根据分式方程增根的含义可得x﹣2＝0或x+2＝0，进一步即可求出增根．【解答】解：∵分式方程+＝有增根，∴x﹣2＝0或x+2＝0，解得x＝2或x＝﹣2，∴增根为2或﹣2，故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的含义是解题的关键．3．解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1 C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1【分析】将分式方程去分母即可．【解答】解：﹣2＝，去分母，得3﹣2（x﹣1）＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．4．若关于x的不等式组有解且所有的解都是正数，且关于y的分式方程＝0的解为整数，则符合条件的所有整数a的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】先解不等式组求得﹣1≤a＜4，；再解分式方程得y＝，再由方程的解为整数，可得a是2的倍数，由于y≠1，则a≠0，可求a的值为2．【解答】解：不等式组，由①得x≤5，由②得x＞a+1，∵不等式组有解且所有的解都是正数，∴0≤a+1＜5，∴﹣1≤a＜4，解分式方程＝0得，y＝，∵y≠1，∴a≠0，∵方程的解为整数，∴a是2的倍数，∴a的值为2，∴符合条件的所有整数a的个数为1个，故选：A．【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．5．关于x的分式方程，下列说法正确的是（）A．方程的解是x＝m﹣3 B．当m＞3时，方程的解是正数 C．当m＜3时，方程的解为负数 D．当m＝3时，方程无解【分析】先去分母求得分式方程的解，然后将分式方程的解带入最简公分母进行讨论分析即可．【解答】解：最简公分母为x+3，两边同乘x+3得：m＝x+3，移项得：x＝m﹣3．∵当x+3＝0时，即x＝﹣3时，方程产生增根，∴当x≠﹣3时，方程的解是x＝m﹣3，故A选项不符合题意；当m＞3时，x＝m﹣3＞0，∵当x＝﹣3时，方程产生增根，∴m﹣3≠﹣3，即m≠0，∴当m＞3时，方程的解是正数，故B选项符合题意，当m＜3时，x＝m﹣3＜0，∵当x＝﹣3时，方程产生增根，∴m﹣3≠﹣3，即m≠0，∴当m＜3且m≠0，方程的解是负数，故C选项不符合题意；显然选项D错误．故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了解分式方程，根据最简公分母是否为0进行讨论是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．关于x的方程＝1的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的所有整数m的和为．【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求，求出相应的m的值相加即可解答本题．【解答】解：∵关于x的方程＝1的解为正数，∴2﹣x﹣m＝x﹣3，解得：x＝，∵x﹣3≠0，∴x≠3，∴≠3，m≠﹣1，则5﹣m＞0，故m＜5，且m≠﹣1，∵关于y的不等式组有解，∴m+3≤y≤3m+6，且m+3≤3m+6，解得：m≥﹣1.5，故m的取值范围是：﹣1.5≤m＜5，且m≠﹣1，则符合题意的整数m有：0，1，2，3，4，∴符合题意的所有整数m的和为10．故答案为：10．【点评】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．7．符号“|”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：|＝ad﹣bc，请你根据运算法则求出等式中x的值．若|＝1，那么x＝．【分析】根据定义列分式方程直接求解即可．【解答】解：由已知条件整理得，2×，方程两边同时乘以x+1得，2﹣3＝x+1，解得x＝﹣2，经检验是原方程的解．【点评】本题主要考查解分式方程，理解定义是解题关键．8．若关于x方程的解是x＝3，则a的值为．【分析】将x＝3代入分式方程后解关于a的一次方程即可．【解答】解：将x＝3代入分式方程得，＝2，a＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程的解，通过将x的解代入方程化成含a的方程进而求解，关键在于运算能力．9．关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的整数a的值为﹣3．【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a的值．【解答】解：分式方程的解为：x＝，∵分式方程有可能产生增根1，又∵关于x的分式方程的解为正整数，∴x＝≠1，∴满足条件的所有整数a的值为：﹣3，∴a的值为：﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．三．解答题（共6小题）10．若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，求满足条件的正整数m的值．【分析】根据分式方程的一般解法得到方程＝2﹣的解为x＝4﹣m；由于该方程的解为正数，则x＞0，由于要使方程有意义，则x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根据所得的方程，求出m的值，结合题意m为正整数，可得m的值，至此可得答案．【解答】解：∵＝2﹣，∴＝2+，＝2，x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范围为m＜4且m≠2．∵m为正整数，∴m的值为1，3．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．11．解下列分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）分式方程的两边同乘以（x﹣4）去分母，解方程得出x的值，再进行检验即可．（2）分式方程的两边同乘以（x﹣1）（x+1）去分母，解方程得出x的值，再进行检验即可．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣4），得3﹣x﹣1＝x﹣4，解得x＝3，检验：当x＝3时，x﹣4≠0，所以x＝3是原方程的解；（2）方程的两边同乘以（x﹣1）（x+1），得x+1＝1，解得x＝0，检验：当x＝0时，（x﹣1）（x+1）≠0，所以x＝0是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是能够熟练去分母，不要漏乘常数，不要漏写检验．12．解分式方程：．【