知识清单：第二章机械振动与机械波 第Ⅰ部分（原卷版）

学而优教有方主题2机械振动与机械波第I部分机械振动1简谐运动一、弹簧振子1.机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.2.弹簧振子：小球和弹簧构成的系统.3.平衡位置：振子原来静止时的位置，平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动).图3图44.弹簧振子是一种理想化模型，实际物体可看成弹簧振子的条件：(1)不计摩擦阻力和空气阻力.(2)不计弹簧的质量.(3)物体可视为质点.(4)弹簧的形变在弹性限度内.5.弹簧振子的振动分析(1)位移及其变化位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置，当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小.(2)速度及其变化振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零，振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大.(3)加速度及其变化水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力，不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大.二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)1.用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x－t图象，如图1所示.图12.振子的位移：振子相对平衡位置的位移.三、简谐运动及其图象简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.1.对x－t图象的理解x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标，它反映了振子位移随时间变化的规律.注意x－t图象不是振子的运动轨迹.2.简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.3.x－t图象的应用(1)可直接读出不同时刻t的位移x值.位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示.(2)判断任意时刻质点的振动方向，看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动.甲乙图7(3)速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断，图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向，在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0，在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大.2简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量1.振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离.2.全振动(如图1所示)图1类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程.3.周期和频率(1)周期①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间.②单位：国际单位是秒(s).(2)频率①定义：单位时间内完成全振动的次数.②单位：赫兹(Hz).(3)T和f的关系：T＝eq\f(1,f).4.相位描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.5.对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动.(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.②时间特征：历时一个周期.③路程特征：振幅的4倍.④相位特征：增加2π.6.对周期和频率的理解(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝eq\f(1,f)，即周期越大，频率越小，振动越慢.(2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关.7.对振幅的理解(1)振动物体离开平衡位置的最大距离.(2)振幅与位移的区别①振幅等于最大位移的数值.②对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的.③位移是矢量，振幅是标量.(3)路程与振幅的关系①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅.②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅.③振动物体在eq\f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅.二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ).1.x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间.2.A表示简谐运动的振幅.3.ω叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝eq\f(2π,T)＝2πf(与周期T和频率f的关系).4.ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相位(或初相).5.相位差若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.三、简谐运动表达式的理解2.从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性，当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝eq\f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.3.从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会特殊点的值.当(ωt＋φ)等于2nπ＋eq\f(π,2)时，sin(ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋eq\f(3π,2)时，sin(ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin(ωt＋φ)＝0，即x＝0.四、简谐运动的周期性和对称性如图2所示图2(1)时间的对称①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.(2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反.②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反.(3)位移的对称①物体经过同一点(如C点)时，位移相同.②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反.3简谐运动的回复力和能量一、简谐运动的回复力1.简谐运动如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.2.回复力(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力.(2)方向：总是指向平衡位置.(3)表达式：F＝－kx.(4)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置.(5)回复力的性质回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力.例如：如图1甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供.图13.回复力公式：F＝－kx(1)k是比例系数，其值由振动系统决定，与振幅无关，只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数.(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反.4.简谐运动的加速度由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－eq\f(k,m)x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反.4.物体做简谐运动的判断方法(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；(2)简谐运动的振动图象是正弦曲线.二、简谐运动的能量1.能量转化弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程.(1)在最大位移处，势能最大，动能为零.(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小.2.能量特点在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型.三、简谐运动中各物理量的变化1.如图5所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如表所示.图5振子的运动A→OO→A′A′→OO→A位移方向向右向左向左向右大小减小增大减小增大回复力方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大加速度方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大速度方向向左向左向右向右大小增大减小增大减小振子的动能增大减小增大减小弹簧的势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同，位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同.(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大.(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大.4单摆一、单摆及单摆的回复力1.单摆(1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型.(2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置.2.单摆的回复力(1)回复力的来源：如图1所示，摆球的重力沿圆弧切线方向(填“切线方向”或“法线方向”)的分力提供回复力.图1(2)回复力的特点：在偏角很小时，sinθ≈eq\f(x,l)，所以单摆的回复力为F＝－eq\f(mg,l)x，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动.二、单摆的周期1.单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越长(填“越长”“越短”或“不变”).2.单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g)).三、用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2)，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度.2.数据处理(1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加速度，然后取平均值.(2)图象法：分别以l和T2为纵坐标和横坐标，作出函数l＝eq\f(g,4π2)T2的图象，图象的斜率k＝eq\f(g,4π2)，进而求出重力加速度g.三、实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2)，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度.2.实验器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺、游标卡尺.3.实验步骤(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记.(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋eq\f(d,2).(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球，摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期.(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.4.数据处理(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中求出g值，最后求出g的平均值.设计如下所示实验表格：实验次数摆长l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)23(2)图象法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图象(如图2所示).其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由图象的斜率即可求出重力加速度g.图25.注意事项(1)(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.(3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆.(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t.5外力作用下的振动一、固有振动、阻尼振动1.固有振动和固有频率(1)固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动.(2)固有频率：固有振动的频率.2.阻尼振动(1)阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼.(2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图1所示.图1二、受迫振动1.驱动力作用于振动系统的周期性的外力.2.受迫振动(1)定义：系统在驱动力作用下的振动.(2)受迫振动的频率(周期)做受迫振动的物体，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关.3.三种振动的理解(1)简谐运动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑.(2)阻尼振动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动.(3)受迫振动：物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动.4.三种振动的比较振动类型比较项目简谐运动阻尼振动受迫振动产生条件不受阻力作用受阻力作用受阻力和驱动力作用频率固有频率频率不变由驱动力的频率决定振动图象形状不确定常见例子弹簧振子或单摆敲锣打鼓时发出的声音越来越弱机器运转时底座发生的振动三、共振1.定义驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振.2.共振曲线(如图2所示)图23.共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固.4.共振曲线如图4所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅.图4(1)从受力角度看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体