142三角形的内角和（分层练习）-2022-2023学年七年级数学下册2

14.2三角形的内角和（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·上海·七年级期末）下列说法中，正确的是（

）A．三角形的高都在三角形内B．三角形的三条中线相交于三角形内一点C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度【答案】B【分析】根据三角形的有关性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意；B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确，符合题意；C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意；D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键．2．（2021春·上海奉贤·七年级校联考期末）下图中能体现∠1一定大于∠2的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由对顶角的性质可判断A，由平行线的性质可判断B，由三角形的外角的性质可判断C，由直角三角形中同角的余角相等可判断D，从而可得答案.【详解】解：A、∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2．故此选项不符合题意；B、如图，若两线平行，则∠3＝∠2，则若两线不平行，则大小关系不确定，所以∠1不一定大于∠2．故此选项不符合题意；C、∠1是三角形的外角，所以∠1＞∠2，故此选项符合题意；D、根据同角的余角相等，可得∠1＝∠2，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，直角三角形中两锐角互余，三角形的外角的性质，同角的余角相等，掌握几何基本图形，基本图形的性质是解本题的关键.3．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形【答案】B【分析】因为∠A﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即为钝角三角形．【详解】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0º），那么△ABC是钝角三角形．故选：B．【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是得到∠A一定大于90°．4．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=（180n）°，∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（180n）°=90°n°，∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°n°，故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键．二、填空题5．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）在中，若，则是______三角形（按角分类）．【答案】直角【分析】设∠C=x°，由∠C=∠B=∠A，可得：∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，然后由三角形内角和定理即可求出∠A、∠B、∠C的度数，即可判断三角形的形状．【详解】解：∠C=x°，∵∠C=∠B=∠A，∴∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：3x+2x+x=180°，解得：x=30°，∴∠C=30°，∠A=3∠C=90°，∠B=2∠C=60°，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了三角形内角和定理及直角三角形的判定，解题的关键是由∠C=∠B=∠A，得到∠B=2∠C，∠A=3∠C．6．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，则∠C的一个外角等于_____度．【答案】116【分析】根据三角形外角性质得出∠C的一个外角的度数即可．【详解】解：如图所示，∵∠A＝80°，∠B＝36°，∴∠C的一个外角＝∠A+∠B＝80°+36°＝116°，故答案为：116．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．7．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，，，那么＝___．【答案】##65度【分析】利用三角形的外角性质得出，从而求出的度数．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．8．（2022春·上海·七年级专题练习）将一副三角板如图表示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中=_________度【答案】．【分析】先标注图形顶点，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：如图，先标注字母，由题意故答案为：【点睛】本题考查的是角的和差，三角形是外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D＝_____度．【答案】125【分析】根据角平分线的性质和三角形内角和定理求解即可.【详解】∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B＝125°，故答案为：125．【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的性质，根据角平分线的性质将∠ADC转化到三角形中，利用三角形的内角和求解是解题的关键.10．（2021秋·上海·七年级期末）如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么___度．【答案】【分析】根据折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置改变，对应边和对应角相等，可以得到，再根据平角的定义即可求解．【详解】沿直线翻折后得到，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形折叠中的角度问题，它属于轴对称，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．11．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1=35°，那么∠2=___度．【答案】65【分析】根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3=∠2．【详解】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=∠ABC=35°，∴∠3=∠C+∠ABC=30°+35°=65°，∵直线l1∥l2，∴∠2=∠3=65°，故答案为：65．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．12．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．【答案】34°##34度【分析】根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．【详解】解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°∠DAC∠AFD=34°，故答案为：34°．【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．13．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度数等于_____．【答案】110°##110度【分析】由三角形的内角和可求得∠BAC＝60°，再由角平分线的定义得∠BAD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠ADC的度数．【详解】解：∵∠B＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握．14．（2022春·七年级单元测试）如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAF＝_____度．【答案】20【分析】根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答．【详解】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝68°×＝34°，在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°，于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了角平分线、三角形高的定义和三角形的内角和定理．15．（2022春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝_____．【答案】45°##45°【分析】延长CH交AB于点F，锐角三角形三条高交于一点，所以CF⊥AB，再根据三角形内角和定理得出答案．【详解】解：延长CH交AB于点F，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．16．（2022春·上海·七年级专题练习）已知任意一个三角形三个内角的和为180°，如果有一个三角形三个内角的度数比是1：3：5，这个三角形中最大的内角是_____度．【答案】100【分析】根据三角形的内角和定理求出最大的内角即可．【详解】解：由题意得，三角形的最大的内角＝×180°＝100°，故答案为：100．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，点D是△ABC两条角平分线AP、CE的交点，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝_____°．【答案】110【分析】根据CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，求出∠ADC即可．【详解】解：∵CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，∴∠ACE＝∠BCA，∠CAP＝∠BAC，∵∠BAC+∠BCA＝140°，∴∠CAP+∠ACE＝70°，∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握了角平分线的性质是解题的关键．18．（2021春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）如图，与是的两个外角，平分交的平分线于点.若，则________．【答案】60°##60度【分析】先求出∠DBC+∠BCE，再利用邻补角的性质和三角形内角和定理求解即可．【详解】∵∠F=60°，∴∠CBF+∠BCF=120°，∵BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F，∴∠DBC+∠BCE=2（∠FBC+∠BCF）=240°，∴∠ABC+∠ACB=（180°∠DBC）+（180°∠BCE）=120°，∴∠A=180°120°=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了角平分线定义、邻补角互补和三角形内角和是180°，解题关键是牢记性质和定义．三、解答题19．（2022春·上海·七年级期末）在中，，求的度数．【答案】．【分析】设，，，再根据求出的值，进而可得出结论．【详解】解：中，设，，．，，解得，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．20．（2022春·上海·七年级期中）如图：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度数．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+＝180°（）．∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线的意义）．∴∠DBC+∠ACB＝（）（等式性质），即∠DBC+∠ACB＝°．∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（），∴∠BOC＝°（等式性质）．【答案】∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90【分析】根据题意利用AB∥CD得∠ABC+∠BCD=180；等式的性质得∠DBC+∠ACB=（∠ABC+∠ACD），进而由三角形内角和为180°得∠BOC=90°．【详解】解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线定义），∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性质），即∠DBC+∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠BOC＝90°（等式性质），故答案为：∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90．【点睛】本题考查平行线的性质，等式的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关性质的应用．21．（2022春·七年级单元测试）如图∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数．【答案】105°【分析】先根据三角形的外角性质求出∠ADB，再根据三角形的外角性质计算即可．【详解】解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°，∴∠ADB＝40°+45°＝85°，∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，∴∠DFE＝85°+20°＝105°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．22．（2022春·上海·七年级期末）如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．【答案】【分析】根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．23．（2022春·上海·七年级期末）已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度数．【答案】25°【分析】由三角形的外角性质可求得∠FCB＝130°，再由角平分线的定义得∠FCD=∠BCD=65°，由平行线的性质可得∠CBA＝65°，根据∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE即可求∠EBA的度数．【详解】解：∵∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，∴∠FCB＝∠CEB+∠CBE＝130°，又∵CD平分∠FCB，∴，又∵AB∥CD，∴∠CBA＝∠BCD＝65°，∴∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝65°﹣40°＝25°．【点睛】本题主要考查了三角形外角，角平分线，平行线，解答的关键是熟练掌握三角形外角性质，角平分线性质和平行线的性质，并灵活运用．24．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝度（直接写出答案）；(2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．【答案】(1)70(2)见解析【分析】（1）利用三角形的外角性质可求出∠BDC的度数，结合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度数，再在△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠B的度数；（2）在△ABE中，利用三角形内角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形内角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，进而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【详解】（1）解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，∴∠BCD＝∠BDC＝55°．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案为：70；（2）解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，∴2∠BDC＝180°﹣∠B，∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用三角形的外角性质，求出∠BDC的度数；（2）利用三角形内角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．【能力提升】一、单选题1．（2022春·上海·七年级专题练习）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意作出图形，根据由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数．【详解】解：如图，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，∴∠PBC＝（∠A＋∠ACB），∠PCB＝（∠A＋∠ABC），又∵∠PBC＋∠PCB＋∠P＝180°，∴∠P＝180°−（∠PBC＋∠PCB）＝180°−（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）＝180°−（180＋∠A）＝90°−∠A，故选C．【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理．解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，，，则、和的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长DC交AB于G，延长CD交EF于H，然后由平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，即可求出角的关系．【详解】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H，如图在直角△BGC中，；在△EHD中，，∵，∴，∴，∴；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．二、填空题3．（2022春·上海·七年级专题练习）如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_____根．【答案】8

【详解】试题解析：因为添加钢管的长度都与OE相等，，所以，…….从图中我们会发现有好几个等腰三角形，由上可知，第一个等腰三角形的底角为10°，第二个是20°，第三个是30°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°就不存在了，所以最多能添加这样的钢管8根.故本题的正确答案应为8.点睛：本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找出规律.4．（2022春·上海·七年级专题练习）如图所示,∠ACD是△ABC的外角,∠A=45°,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于点E.∠E=______．【答案】22.5°【分析】根据外角的性质有∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠E．【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A=22.5°，故答案为22.5°【点睛】本题考查了三角形外角的性质及角平分线性质，理清各角之间的关系是解题的关键．5．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC=m°，∠BGC=n°，则∠A的度数为_____（用m，n表示）．【答案】（）°【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．【详解】解：连接BC，∵∠BDC＝m°，∴∠DBC＋∠DCB＝180°−m°，∵∠BGC＝n°，∴∠GBC＋∠GCB＝180°−n°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠GBD＋∠GCD＝∠ABD＋∠ACD＝180°−n°−(180°−m°)＝m°−n°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°−m°＋2（m°−n°）＝180°＋m°−2n°，∴∠A＝180°−（180°＋m°−2n°）＝(2n−m)°．故答案为(2n−m)°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的定义，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．6．（2022春·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考期中）按虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，并使∠1＝130°，AB⊥BC，∠2＝______【答案】140°##140度【分析】连接AC，根据两直线平行同旁内角互补，三角形内角和为180°，计算求值；【详解】解：如图，连接AC，点E、F为长方形顶点，则AE∥CF，∴∠CAE+∠ACF=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠1+∠2=∠CAE+∠BAC+∠ACF+∠ACB=270°，∵∠1=130°，∴∠2=140°，故答案为：140°【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理；正确作出辅助线是解题关键．7．（2022春·上海·七年级上海市文来中学校考期中）如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，则__________度．【答案】80【分析】如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．首先证明∠1+∠2=2∠AC′B，求出∠AC′B即可解决问题．【详解】解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．在△ABC′中，∠AC′B=180°65°75°=40°，∵∠ECF=∠AC′B=40°，∠1=∠ECC′+∠EC′C，∠2=∠FCC′+∠FC′C，∴∠1+∠2=∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C=2∠AC′B=80°；故答案为：80【点睛】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住基本结论∠1+∠2=2∠AC′B解决问题．三、解答题8．（2022春·上海·七年级专题练习）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．【答案】（1）70°；（2）20°；（3）70°【分析】（1）利用三角形的外角的性质求出∠PAE即可解决问题．（2）利用三角形的内角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根据角平分线的定义求出∠BAC+∠BCA即可解决问题．（3）先证∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，再由角平分线定义知∠1＝∠2，∠3＝∠4，进行等量代换即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵AF，CE是高，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．（2）如图2中，∵∠APC＝100°，∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，∵AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，∴∠BAC+∠BCA＝160°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．（3）如图3中，连接PD延长于点H，∵∠ADH＝∠2+∠APD，∠CDH＝∠3+∠CPD，∴∠ADC＝∠2+∠APD+∠3+∠CPD＝∠2+∠3+∠APC，同理，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ADC＝130°，∠APC＝100°，∴∠B＝∠APC﹣∠1﹣∠4＝∠APC﹣∠2﹣∠3＝∠APC﹣(∠ADC﹣∠APC)＝70°．【点睛】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，第3问中通过作辅助线证明∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B是解题的关键．9．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，(1)如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；(2)如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由；(3)如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：①∠1+∠2+∠3＝；②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①90°②见解析【分析】（1）根据三角形的外角性质，求得∠BGC＝∠BGP+∠CGP，据此进行计算即可；（2）根据BE，CF分别是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，进而得出∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，据此可得∠1＝∠2；（3）根据∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，可得∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC），据此进行计算即可；②根据∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝90°﹣∠ACB，再根据CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，进而得到∠BGD＝∠CGH．（1）解：∵如图1，连接AG并延长至P，∵∠BGP是△ABG的外角，∴∠BGP＝∠1+∠BAP，同理可得，∠CGP＝∠2+∠CAP，∴∠BGC＝∠BGP+∠CGP＝∠1+∠BAP+∠2+∠CAP＝∠1+∠A+∠2；（2）解：∵如图2，BE，CF分别是AC，AB上的高，∴△ABE和△ACF是直角三角形，∴∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，∴∠1＝∠2；（3）解：①如图3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∠3＝∠BAC，∴∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝×180°＝90°，故答案为：90°；②∵∠BGD是△ABG的外角，∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACB，∴∠GCH＝∠ACB，∵GH⊥BC，∴Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，∴∠BGD＝∠CGH．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°．解决第（3）问的难点在于将∠BGD和∠CGH都用90°﹣∠ACB表示出来．10．（2022春·上海·七年级期中）已知，直线GE上有一点C，B在直线GE外(1)如图1，点A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分线AF，CF交于点F，请直接写出∠B与∠F数量关系．(2)如图2，A在直线外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE，试说明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．(3)如图3，HD∥GE，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F．问∠B与∠F有何数量关系，试说明．【答案】(1)∠B＝2∠F(2)见解析(3)∠B＝2∠F；理由见解析【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠BND＝∠BCE，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，等量代换得到∠BNH＝2∠FMH，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AF、CF分别平分∠CAB、∠GCB，∴，，∵∠GCB为△ABC的外角，∴，∵为△ACF的外角，∴，，，，∴，∴．（2），∴∠BND＝∠BCE，∵∠BAD＝∠BND+∠ABC，∴∠BCE+∠ABC＝∠BAD．（3）∠B＝2∠F；，∴∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，∵FA，FC是∠BAH与∠BCG的角平分线，∴∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，∴∠BNH＝2∠FMH，∵∠BNH＝∠B+∠BAH，∠FMH＝∠F+∠FAH，∴∠B＝2∠F．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，是解题的关键．11．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形；(2)如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；①说明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．【答案】(1)3(2)①见解析；②45°或36°【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．（2）①根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．②首先证明∠EAF＝90°，分∠EAF＝4∠E和∠F＝4∠E两种情形分别求解即可．【详解】（1）解：∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC为3倍角三角形，故答案为：3；（2）解：①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOQ＝2∠EOQ，由外角的性质可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，∴∠ABO＝∠BOQ﹣∠BAO＝2∠EOQ﹣2∠EAQ＝2∠EAQ+2∠E﹣2∠EAQ＝2∠E，∴∠ABO＝2∠E．②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴当∠EAF＝4∠E时，∠E＝×90°＝22.5°，当∠F＝4∠E时，∠E＝×90°＝18°，∵∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，角的和差计算等，读懂新定义n倍角三角形的意义并注意分类讨论是解决问题的基础和关键．12．（2022春·上海·七年级专题练习）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．【答案】70°，详见解析【分析】先根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．13．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知△中，，，点是上一点，且，点在边的延长线上，平分，说明∥的理由．解：因为点在边的延长线上（已知），所以（______________________）．因为（已知），所以（等式性质）．因为平分（已知），所以（___________________）．因为（_________________________________），所以（等量代换）．所以∥（____________________________________）．【答案】答案见解析【分析】根据平行线的判定定理进行判定即可．【详解】解：因为点在边的延长线上（已知），所以（邻补角的意义）因为（已知），所以（等式性质）．因为平分（已知），所以（角平分线的意义）．因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），所以（等量代换）．所以∥（内错角相等，两直线平行）．14．（2022春·上海·七年级专题练习）如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA=30°（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．【答案】（1）∠A′ON=60°；（2）第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∠MOB∠AOC=30°，②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°90°=30°．【分析】（1）如图②中，延长CO到C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；【详解】（1）如图②中，延长CO到C′．∵三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，∴∠A′ON=180°60°60°=60°．（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．由题意10t=150或10t=330，解得t=15或33s，答：第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∵∠AOB=90°，∴120°∠MOB+∠AOC=90°，∴∠MOB∠AOC=30°．②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°90°=30°．【点睛】本题考查了翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．15．（2022春·上海·七年级专题练习）已知中，记，.（1）如图，若平分，、分别是的外角和的平分线，，用含的代数式表示的度数，用含的代数式表示的度数，并说明理由.（2）如图，若点为的三条内角平分线的交点，于点，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论...【答案】（1），；（2），【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，根据邻补角的性质可求出，再根据角平分线的性质可得=，根据三角形内角和定理算出∠BPC．由三角形外角的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余求出.（2）根据角平分线性质和三角形外角性质可得，，进而可得答案.【详解】（1）解：∵在中，，∴又∵，∴∴∵在中，∴∵∴又∵平分∴同理∵∴∴∵在中，，∴（2）如图2，若点为的三条内角平分线的交点，于点，猜想（1）中的两个结论已发生变化∵点为的三条内角平分线的交点，∴，，=，即：，∴，，∴，.故答案为；．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质．注意知识的灵活运用，对角进行代换运算．16．（2022春·上海·七年级专题练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）求出∠OAC即可解决问题．（3）分三种情形分别求出即可．【详解】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”．故答案为：是．（3：①当∠ACB＝3∠ABC时，∵∠ABO＝30°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°；②当∠ABC＝3∠CAB时，∵∠ABO＝30°，∴∠CAB＝10°，∵∠OAB＝90°，∴∠OAC＝80°．③当∠ACB＝3∠CAB时，∵∠ABO＝30°，∴4∠CAB＝150°，∴∠CAB＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°．综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，分类思想，数学新定义问题，准确理解新定义，灵活运用分类思想是解题的关键．17．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期中）如图已知点E是△ABC的边BC的延长线上的一点，点D是∠ABC内的一动点．(1)如图1，当∠ABC＝∠ECD时，则∠A＝．（填相等的角）(2)如图2，当∠ACD＝∠ABC时，请写出与∠A相等的角，并说明为什么？(3)如图3当ABDC，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD时，试判断线段AC和射线BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)∠ACD(2)∠A＝∠DCE，理由见解析(3)AC⊥BD，理由见解析【分析】（1）由∠ABC＝∠ECD根据平行线的判定定理可得，AB∥CD，再根据平行线的性质即可得出答案；（2）根据三角形的外角和定理可知，∠ACE＝∠A+∠ABC，由已知∠ACD＝∠ABC，进行计算即可得出答案；（3）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分线的性质可得∠OBC＝∠ABC，，可得出∠OBC+∠OCB＝90°，即可得出答案．（1）解：∵∠ABC＝∠ECD，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD．故答案为：∠ACD；（2）∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，又∵∠ACD＝∠ABC，∴∠A＝∠DCE；（3）AC⊥BD．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，∴∠OBC＝∠ABC，，∴，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°，∴AC⊥BD．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角和定理及角平分线的性质，熟练应用相关的性质进行计算是解决本题的关键．18．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．解：因为DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（），又∠D＝42°，所以∠B＝°（等式性质）．因为∠ACD＝∠A+∠B（），又∠A＝35°，∠B＝°，所以∠ACD＝°（等式性质）．【答案】见解析【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【详解】解：因为DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90（垂直的意义）．因为∠DFB+∠B+∠D＝180（三角形内角和是180），又∠D＝42，所以∠B＝48（等式性质）．因为∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），又∠A＝35°，∠B＝48°，所以∠ACD＝83（等式性质）．故答案为：三角形内角和是180，48，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，48，83．【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系，三角形内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形外角与内角的关系.19．（2022春·上海·七年级专题练习）【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数．老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．解：如图②，过点E作．∴（）．∵，∴．∵（），∴（）．∴（）∵，∴．∴（）°【问题迁移】如