2023-2024学年北京四中高三（上）期中数学试题和答案

高中PAGE1试题2023北京四中高三（上）期中数学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.已知集合，，则（A）（B）（C）（D）2.若复数，则（A）（B）（C）（D）3.化简（A）（B）（C）（D）4.下列函数中，值域为的是（A）（B）（C）（D）5.函数的图像向右平移个单位后经过点，则的最小值为（A）（B）（C）（D）6.若，则的最小值为（A）（B）（C）（D）无最小值7.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（A）（B）（C）（D）8．已知函数．则“”是“为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件9.已知，，且，，若，则（A）（B）（C）（D）10.已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（A）（B）（C）（D）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知为第二象限角，且，则_______．12.已知为等差数列，为其前n项和，若，则公差_______，的最大值为_________．13．设分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为.14.如图，为了测量湖两侧的A，B两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B点，距离A点30km处的C点，以及距离C点10km处的D点进行观测.甲同学在B点测得，乙同学在C点测得，丙同学在D点测得，则A，B两点间的距离为_______km.15.设函数定义域为，对于区间，若存在，使得，则称区间为函数的区间.给出下列四个结论：①当时，是的区间；②若是的区间，则的最小值为3；③当时，是的区间；④当时，不是的区间；其中所有正确结论的序号为.三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列和等比数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求和：．17.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的对称轴；（Ⅲ）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围．18.（本小题满分14分）在△中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再从条件=1\*GB3①、条件=2\*GB3②、条件=3\*GB3③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，并求及△的面积.条件①：；条件②：；条件③：.19．（本小题满分15分）已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线；（Ⅱ）讨论的单调性；（Ⅲ）当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.

20.（本小题满分15分）已知函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求在上的最小值；（Ⅲ）若在上存在零点，求的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合，集合，且满足，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中.例如.（Ⅰ）若，求的值及的最大值；（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）；（Ⅲ）对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，使得恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若，从中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为，求的最小值；，最大值，最小值，否则于是，构造为5，2，2，2，2，2构造，即，恰好取得等号.

参考答案一、选择题CBDDBCBADC二、填空题11.12.13.14.15.①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为……2分所以……4分从而.……6分（Ⅱ）因为……8分所以……10分所以，……11分所以.……13分17.解：（1）……3分（2）……8分……10分（3）……13分18.解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,.……4分（Ⅱ）选条件①：．由正弦定理得，因为，所以，，进而，.……14分选条件②：由正弦定理得，由余弦定理得，所以．由，解得.……14分19.解：（1）……4分（2）……6分①，增，减……8分②，增，减……10分③，增……11分（3）首先为在上的极小值，也是最小值。于是，所以当且时，由于对称轴大于0，因此，此时，符合题意。……15分20.解：（Ⅰ）当时，，定义域：，，令，则，变化时，，的变化情况如下表：+0-↗↘则，没有极小值；………………4分（II）当时，，定义域：，，令，定义域：，，则在上是增函数，则，所以，即在上是增函数，则；………………8分（Ⅲ），定义域：，，令，定义域：，，（1）当时，，则在上是减函数，则，当时，，则在上是减函数，，不合题意；当时，，则存在，使，即，变化时，，的变化情况如下表：+0-↗↘则，只需，即； （2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，则在上是增函数，，不合题意，综上所述，的取值范围是.………………15分21.解：（1）1，2……4分（2）设中的最大值为，由定义，若存在则，进而，矛盾.于是除外，剩余的由定义，中恰有个元素，设删去的两个数为，则构造，删去，恰好取得等号.……9分（3）结论：集合中存在满足条件的三个不同的元素，，，证明如下：设中的一个最大值为，由得于是，进而考虑，由于，，而于是一定存在不同于的，使得，进而，于是取即可.……15分（3）另一种叙述方式：设维数组，，其中，当时，当时.所以各分量中的个数恰好