高考总复习文数（北师大版）课时作业提升57模拟方法（几何概型）概率的应用

课时作业提升(五十七)模拟方法(几何概型)——概率的应用A组夯实基础1．(2018·济南模拟)有一动点在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1内随机运动，则此动点在三棱锥A­A1BD内的概率为A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：选A设事件M为“动点在三棱锥A­A1BD内”，则事件M发生的概率P(M)＝eq\f(V三棱锥A­A1BD,V长方体ABCD­A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·S△ABD,V长方体ABCD­A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6)，故选A．2．(2018·西安一模)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：选A以6点作为计算时间的起点，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则基本事件空间是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，事件对应的平面区域的面积S＝1，设满足条件的事件对应的平面区域是A，则A＝(x，y)eq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，0≤y≤1，y－x≤\f(1,2)，且y≥x))，其对应的区域如图中阴影部分所示，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，C(0,1)，则事件A对应的平面区域的面积是1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,8)，根据几何概型的概率计算公式得P＝eq\f(\f(3,8),1)＝eq\f(3,8)．3．(2018·天津联考)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：选C因为函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，所以由f(x)≥0，解得0≤x≤2，又x∈[－1,3]，所以f(x0)≥0的概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)．4．(2018·海口一模)如图，在边长为3的正方形内有区域A(阴影部分所示)，张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内的点的个数的平均值为6600，则区域A的面积约为()A．5 B．6C．7 D．8解析：选B由题意，∵在正方形内随机产生10000个点，落在区域A内的点的个数的平均值为6600，∴概率P＝eq\f(6600,10000)＝eq\f(33,50)，∵边长为3的正方形的面积为9，∴区域A的面积的估计值为eq\f(33,50)×9≈6，故选B．5．(2018·烟台一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(5,8) D．eq\f(4,5)解析：选D甲去银行恰好能办理业务的概率为eq\f(17－13,18－13)＝eq\f(4,5)．6．(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．解析：由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即16k2<9，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4)．由几何概型的概率计算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4)．答案：eq\f(3,4)7．(2016·全国卷Ⅱ改编)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．解析：设由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤xn≤1，,0≤yn≤1))构成的正方形的面积为S，xeq\o\al(2,n)＋yeq\o\al(2,n)＜1构成的图形的面积为S′，所以eq\f(S′,S)＝eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n)．答案：eq\f(4m,n)8．(2018·东北三校联考)记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x≥0，,y≥0))))构成的平面区域分别为M，N，现随机向M中掷一粒豆子(大小忽略不计)，则该豆子落入N中的概率为________．解析：因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x≥0，,y≥0))))构成的平面区域M，N分别为圆及其内部与直角三角形及其内部，它们的面积分别为π，eq\f(1,2)，随机向M中掷一粒豆子(大小忽略不计)，则该豆子落入N中的概率P＝eq\f(\f(1,2),π)＝eq\f(1,2π)．答案：eq\f(1,2π)9．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b．(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件．事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)．(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3)．B组能力提升1．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析：选B由题意知，满足条件的P位于半径为1的半球的外部，因此所求概率为1－eq\f(\f(1,2)×\f(4,3)×π×13,π×12×2)＝eq\f(2,3)．2．在区间[1,5]和[2,6]内各取一个数，分别记为a和b，则方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＜b)表示离心率小于eq\r(5)的双曲线的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(15,32)C．eq\f(17,32) D．eq\f(31,32)解析：选B∵方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＜b)表示离心率小于eq\r(5)的双曲线，∴eq\f(\r(a2＋b2),a)＜eq\r(5)，2a＞b，∴b＞a＞0,2a＞b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＜b)表示离心率小于eq\r(5)的双曲线的概率P＝eq\f(S阴影,S矩形)＝eq\f(4×4－\f(1,2)×4×2－\f(1,2)×3×3,4×4)＝eq\f(15,32)，故选B．3．已知实数m∈[0,1]，n∈[0,2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π－3,2) D．eq\f(π,2)－1解析：选A方程有实数根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为eq\f(π,2)，故概率为eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4)．4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，0＜x＜1，,1，x≥1，))在区间(0,4]内任取一数x，则不等式log2x－(logeq\f(1,4)4x－1)f(log3x＋1)≤eq\f(7,2)成立的概率为________．解析：由题意，log3x＋1≥1且log2x－(logeq\f(1,4)4x－1)≤eq\f(7,2)或0＜log3x＋1＜1且log2x＋2(logeq\f(1,4)4x－1)≤eq\f(7,2)，解得1≤x≤2或eq\f(1,3)＜x＜1，∴原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，则所求概率为eq\f(2－\f(1,3),4－0)＝eq\f(5,12)．答案：eq\f(5,12)5．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1