11探索勾股定理(备作业)2021-2022学年八年级数学上册（北师大版）

1.1探索勾股定理一、单选题1．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（）A．25 B．14 C．7 D．7或25【答案】D【解析】根据勾股定理可以得到解答．解：由勾股定理知，第三边的长的平方为或者，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．2．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍【答案】A【解析】设直角三角形的两直角边分别是x，y，求出原来的斜边和扩大后的斜边，然后可求出结果．解：设直角三角形的两直角边分别是x，y，原来直角三角形的斜边：．两条直角边都扩大2倍后两直角边为2x，2y，则斜边：=2．所以斜边也扩大2倍．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，可设出直角边，求出变化前和变化后的斜边做比较就可求得结果．3．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，则另一条直角边长为（）A．3 B．4 C．12 D．13【答案】C【解析】已知直角三角形的周长和其中一条直角边，即可以得出另外两条边的和，设其中一条直角边为，则斜边为，利用勾股定理列出方程求解出即可．解：设另一条直角边长为，则斜边长为．由勾股定理可得，解得．故选：C．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握勾股定理是解此题的关键.4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，、表示，若，，则的值为（）．A．9 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值．解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，∴S1=a2=25，S1=b2，S3=c2=9，∵△ABC是直角三角形，∴c2+b2=a2，即S3+S2=S1，∴S2=S1S3=259=16．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．5．下列说法正确的是（）．A．若、、是的三边长，则B．若、、是的三边长，则C．若、、是的三边长，，则D．若、、是的三边长，，则【答案】D【解析】【解析】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.解：由勾股定理，A、没有确定直角和斜边，故A错误；B、没有确定斜边，故B错误；C、斜边为，则，故C错误；D、，则与为直角边，为斜边，则，故D正确；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.6．如图所示，，为垂足，设，，则，的大小关系为（）A． B． C． D．不确定【答案】C【解析】由于AC⊥BD，运用勾股定理分别表示AB2，CD2，AD2，BC2，然后计算mn，即可得出m，n的大小关系．解：∵AC⊥BD，∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2．∴mn=AB2+CD2AD2BC2=OA2+OB2+OC2+OD2（OA2+OD2+OB2+OC2）=0，∴m=n．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的运用，难度中等，熟练掌握勾股定理是解题的关键，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.7．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（）A． B． C．6 D．8【答案】A【解析】根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可．解：∵∠C＝90°，AC＝4，AD＝5，∴CD＝3，∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠BAD，∴DB＝AD＝5，∴BC＝BD+CD＝8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，∴故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形判定的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．8．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形通过该图形，可以验证公式（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解析】利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（ba）2，∴c2=ab×4+（ba）2，c2=2ab+b22ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．【点睛】此题考查的知识点是勾股定理得证明，关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、x、f，根据勾股定理得出正方形之间的关系，再将所有正方形的面积相加即可得出答案．解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、x、f所有的三角形都是直角三角形由勾股定理可得，，S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形C+S正方形D=S正方形F，S正方形E+S正方形F=64S正方形A+S正方形B+S正方形C+S正方形D+S正方形E+S正方形F+82=2（S正方形E+S正方形F）+64=264+64=192（cm2）所有的正方形的面积和是192cm2故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，求得所有正方形的面积是关键，注意不要漏掉．10．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.如图，根据题意，得BC=20，CD=BD=10=EM，∴EG=GM=5，∴EF=FG=5，∴，故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.11．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，，，且，，则S（）A．25 B．32 C．7 D．18【答案】A【解析】根据△ADC为直角三角形且AD=CD，可得到，同理可得到及，在△ACB中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可．解：∵△ADC为直角三角形，且AD=CD，∴在△ADC中，有，∴，即，∴，同理可得：，，∵∠ACB=，∴，即，∴，∵，，∴，故答案为：A．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2 B． C．4 D．6【答案】D【解析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解．解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴ABa，ACb，BCc，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，∴（a+c）（c﹣a）＝9，∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝3，∴ACb＝6，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．二、填空题13．是的高且，，则____．【答案】【解析】由∠A：∠B：∠C=1:2:3，可得∠C=90°，∠A=30°，由AB=m可得CB=，由勾股定理可得AC=，通过面积计算可得CD长度．∵∠A：∠B：∠C=1:2:3，∴∠C=90°，∠A=30°，∵AB=m，∴CB=，则AC==，由等积法可得：，即：，解得：CD=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，有一个角是的直角三角形的边长关系，勾股定理，以及等积法求三角形的高的问题，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，则四边形ABCD的面积是____________．【答案】【解析】先根据勾股定理求出AC长，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，则四边形面积就是两个直角三角形面积的和．解：在中，，，在中，，，，则，∴是直角三角形，．故答案是：．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握这两个定理的运用．15．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则线段长度为的是_______．【答案】AB【解析】根据勾股定理求出每条线段的长即可．解：由勾股定理可得：，BC=3，，，故长度为是AB，故答案为AB．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．16．如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为____．【答案】【解析】先利用勾股定理求出BC,再根据折叠的性质可得，，,设，最后利用勾股定理列出方程即可求出的长．解:由勾股定理，得．由折叠可知，，．设，则，，．在中，，解得，即的长为故答案为:．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题,掌握利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取点D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝__．【答案】5【解析】根据角度转换，得到三角形ADE是直角三角形，然后运用勾股定理计算出DE的长.∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【点睛】本题主要考查到运用勾股定理求长度，说明三角形ADE是直角三角形是解题的关键.18．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，（1）计算：①当a=1，c=2时，b2②当a=3，c=5时，b2③当a=0.6，c=1时，b2（2）通过（1）中计算出的b2的值，可知b是整数的是________；b是分数的是________；b【答案】3160.64②③①【解析】【解析】（1）根据勾股定理求解即可；（2）分别根据整数和分数的概念进行判断即可.（1）计算：①当a=1，c=2时，b2∴b=3②当a=3，c=5时，b2∴b=4(负舍去)；③当a=0.6，c=1时，b2∴b=0.8(负舍去).（2）通过（1）中计算出的b2的值，可知b是整数的是②；b是分数的是③；b【点睛】此题考查了勾股定理以及正数的算术平方根，熟练掌握勾股定理的运用是解此题的关键.19．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长为________．【答案】3【解析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC===8，∵BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，∴BD=AB=10，DE=AE，∠DCE=90°，∴CD=BDBC=106=4，设CE=x，则DE=AE=ACCE=8x，∴在Rt△DCE中，DE2=CE2+CD2，即（8x）2=x2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．20．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为__________．【答案】【解析】先根据30°的直角三角形的性质得出的长，进而求出的长，再根据旋转的性质可得出，最后利用勾股定理计算即可．解：∠，∴∠∴由旋转的性质得，△，∴，，又∵∠，∴△是等边三角形，为等边三角形点D为的中点在中，∴故答案为：．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，图形旋转的性质，等边三角形的判定是解决本题的关键．21．如图，在中，，，点为外一点，连接、、，，，，则______．【答案】【解析】将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点，根据旋转的形状得到≌，在根据勾股定理计算即可；如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．由旋转的性质可得，≌．∴，，，，∴，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴．故答案是：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，结合旋转的性质和勾股定理求解是解题的关键．22．如图，在中，，点为射线上一点，连接，点为三角形外右侧一点，连接，连接交射线于点，已知，，则线段长为________．【答案】【解析】根据题意可求证，延长CM交AB与点G，过G作GK垂直于BC于点K，根据角相等判断边相等，AG=AM，列出方程求出AG的长，从而求出AM的长，从而求出BN的长，DN=BNBD即可求解．∵，，∴，∵，CN=CM∴，∴，延长CM交AB与点G，过G作GK垂直于BC于点K，∵，∴，，，∴，，，∴，AM=AG，∵，∴，∴，设BK=a，则GK=a，，∴，∴a=1，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，正确做出辅助线，熟练掌握三角形全等的性质及判定是解答本题的关键．三、解答题23．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=10，BC=6，求AC的长．【答案】见详解【解析】根据∠ACB=90°，AB=10，BC=6，采用勾股定理，便可求解．解：△ABC中，∠ACB=90°AB=10，BC=6【点睛】本题考查勾股定理的的应用，关键在于熟悉勾股定理．24．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.【答案】见解析【解析】连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【点睛】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．25．如图，在四边形中，，，于，（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．【答案】(1)详见解析;(2)S四边形ABCD=56【解析】(1)由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE,再根据题意可得Rt△BAE≌Rt△ADC,即可证．(2)根据勾股定理算出AC,由全等可得BE=AC,再算出△ACD的面积和△ABC的面积相加即可．(1)∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠BAE=90°,∵BAD=90°,∴∠BAE+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠ABE,又∵AB=AD,∠BEA=∠ACD,∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS),∴BE=AC．(2)∵AB=10,CD=6,∠ACD=90°,∴,∵Rt△BAE≌Rt△ADC,∴BE=AC=8,∴．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于牢记基础知识并灵活使用．26．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.（1）试说明；（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2），，之间的关系是.理由见解析.【解析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系.（1）由折叠的性质，得，，在长方形纸片中，，所以，所以，所以，所以.（2），，之间的关系是.理由如下：由（1）知，由折叠的性质，得，，.在中，，所以，所以.【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键.27．已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．（1）CD=，|DB﹣AC|=；（用含a，b，c，d的代数式表示）（2）请猜想：A，B两点之间的距离；（3）利用猜想，若A（﹣2，5），B（4，﹣4），求AB两点之间的距离．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）CD的长为A、B两点的横坐标之差的绝对值；|DB﹣AC|为A、B两点的纵坐标之差的绝对值；（2）作垂线构造直角三角形，利用勾股定理推出距离公式；（3）利用（2）的公式计算．解：（1）CD=|c﹣a|，|DB﹣AC|=|b﹣d|；（2）如图，过点B作BEAD与点E，，，由勾股定理，；（3）根据上一问的公式，AB=．【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需要注意的是在用坐标表示线段长度的时候要加上绝对值．28．在中，，分别以的三边为直径作半圆.（1）若这三个半圆在的两侧（如图所示），半圆的面积分别为，，，则，之间有什么数量关系?请说明理由.（2）若这三个半圆在的同一侧（如图所示），的面积等于，两个“月牙”的面积分别为，，则，，之间有什么数量关系?请说明理由.【答案】（1）.理由见解析；（2）.理由见解析.【解析】（1）S1+S2=S3，理由为：根据圆的面积公式表示出S1、S2、S3，利用勾股定理列出关系式，整理即可得证；（2）S1+S2=S3，同理可证．（1）.理由如下：由题意得，，，.在中，由勾股定理.得，所以，所以（2）.理由如下：如图，由题意得，，，在中，由勾股定理，得，所以，所以【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．29．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．（1）求证：；（2）求证：（3）若，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG；（3）求出CG=CF=4，过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠DCA，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）由（1）得△ACD≌△BCE，∴∠CBG=∠CAF，又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG（ASA）；（3）∵△ACF≌△BCG，∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，∴CG=CF=4，过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴GM=CG=，FN=CF=，∴S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF=BC•GM+CD•FN=（BC+CD）=BD=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．30．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．（1）如图1，已知，，，求BD的长；（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析【解析】（1）利用勾股定理运算即可；（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．解：（1）∵∴∴∴（2）∵平分∴又∵，∴∴，∴∴∵∴取的中点，连接，如图2所示：则∴∵∴∴∴∴∴【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．31．[阅读理解]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BD＝x，则CD＝