专题54相交线与垂线（考点分类拓展）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.4相交线与垂线（考点分类拓展）【考点目录】【考点1】旋转问题；【考点2】折叠与重合问题；【考点3】最值问题；【考点4】三角板角度计算问题；单选题【考点1】旋转问题1．（2022上·内蒙古乌海·七年级校考期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（

）A．5 B．6 C．5或23 D．6或242．（2022下·北京·七年级北理工附中校考期中）如图，直线，相交于点，在内部画射线OA，使OC恰为的平分线，在内部画射线OB，使，将直线绕点旋转，下列数据与大小变化无关的是（

）的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数3．（2021下·北京海淀·七年级统考期中）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（

）A．∠AOD的度数 B．∠AOC的度数C．∠EOF的度数 D．∠DOF的度数【考点2】折叠与重合问题4．（2022下·山东济南·六年级统考期末）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（

）A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对C．两人都对 D．两人都不对5．（2018下·七年级课时练习）在同一平面内，直线a、b相交于O，b∥c，则a与c的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或重合【考点3】最值问题6．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，在中，，于点D，，若点E在边AB上（不与点A，B重合）移动，则线段最短为（

）

A．3 B．4 C．5 D．67．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（

）

A． B． C． D．【考点4】三角板角度计算问题8．（2021上·浙江嘉兴·七年级统考期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则与一定满足的数量关系是（）A． B． C． D．9．（2015下·湖北武汉·七年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠1=2∠2，则∠3的度数是（

）A．100° B．120° C．130° D．150°填空题【考点1】旋转问题10．（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图①，点O在直线上，，，将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②），当旋转到第t秒时，平分，则t的值为．11．（2023上·河南南阳·七年级校联考期末）【动手操作】如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是．

12．（2022下·北京·七年级校考阶段练习）如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过秒后，．13．（2022上·江西赣州·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为．【考点2】折叠与重合问题14．（2015下·七年级课时练习）如图所示，矩形ABCD沿EF折叠，若∠DEF＝72°，则∠AEG的度数为．15．（2021上·北京通州·七年级统考期末）点为线段上一点，不与点、重合，于点，若，则的度数为．【考点3】最值问题16．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图，中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作，垂足为F点．如果，，，则的最小值为．17．（2022下·湖北孝感·七年级统考期末）如图，于点D，，，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的最小值是．

【考点4】三角板角度计算问题18．（2023上·山西太原·七年级统考期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）．

请从A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．当三角板整体都在直线上方时，的度数为（用含的代数式表示）．B．将三角板绕点旋转一周，的度数为（用含的代数式表示）．19．（2023下·江苏苏州·七年级星海实验中学校考开学考试）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中的度数．解答题【考点1】旋转问题20．（2022上·四川成都·七年级统考期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角．

（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，平分，求的度数；（3）当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系．21．（2022上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图1，已知，点O为直线上一点；在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点C处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方．（1）在图1的时刻，的度数为，的度数为；（2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，的度数为；（3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为；（4）在三角板绕点O旋转一周的过程中，与的关系为．【考点2】折叠与重合问题22．（2015下·七年级课时练习）如图，取一张正方形纸片ABCD．如图①，折叠∠A，设顶点A落在点A′的位置，折痕为EF；如图②，折叠∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕为EG．试判断∠FEG的度数是否是定值，并说明理由．23．（2022上·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．（1）求与的度数；（2）作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；（3）如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．【考点3】最值问题24．（2018上·江苏盐城·七年级校联考期末）如图，、、是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线，过点作直线，使、两点在直线两旁；②点为直线上任意一点，点为直线上任意一点，连结线段、；在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到直线的距离为5，点、之间的距离为8，点、之间的距离为6，则的最小值为_______，依据是_______.25．（2022下·北京·七年级北京市第二中学分校校联考期中）如图，A、B、C是平面内三点．（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为__________，依据是__________【考点4】三角板角度计算问题26．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直线上．（1）若线段的长是点C到直线的距离，则点D在直线______（填“上”或“外”）．（2）比较与的大小，并说明理由．27．（2022上·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点是直线上一点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处（注：），且直角三角板始终保持在直线的上方．（1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数=______；（2）如图2，若直角三角板的边在的内部．当平分时，试判断平分吗？并说明理由．（3）若，求的度数．参考答案：1．D【分析】分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系即可得答案．解：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，∴∠BON=∠AOC=30°，此时，三角板旋转的角度为90°−30°=60°，∴t=60°÷10°=6；②如图，当ON在∠AOC的内部时，∴∠CON=∠AOC=30°，∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，∴t=240°÷10°=24；∴t的值为：6或24．故选：D．【点拨】此题考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想．2．B【分析】根据角平分线和对顶角相等分别找到与各个选项的角度的关系即可．解：∵，相交于点，∴=，A选项不符合题意；∵OC恰为的平分线，∴=，D选项不符合题意；∵=180°∴=180°，C选项不符合题意；故选：B【点拨】本题主要考查对顶角相等、角平分线的定义，准确找到与各个选项的角度的关系最后利用排除法得到正确答案是解题的关键．3．C【分析】由角平分线性质解得，根据对角线性质、平角性质解得，，据此解题．解：OE，OF平分∠AOD，∠BOD都与∠BOD大小变化有关，只有∠EOF的度数与∠BOD大小变化无关，故选：C．【点拨】本题考查角平分线的性质、涉及对顶角、平角等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．5．B解：根据平面内的直线之间的关系，由题意可知a与c相交.如图：故选B.6．D【分析】根据垂线段最短得到时，线段最短，利用三角形的面积计算方法求出最小值.解：根据垂线段最短可知，当时，线段最短，这时，∵，∴，故选D.【点拨】此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．7．D【分析】作，，，作射线，由角平分线的性质得，可得平分，进而知，，当时，最小，此时点C在处，再由可得答案．解：作于点E，作于点G，作于点H，作射线．

∵平分，，，，∴．同理：，∴，∴平分，∴．∵，∴．根据题意可知点C在的平分线上运动，当时，最小，此时点C在处．在中，．所以，当线段最小时，的度数是．故选：D．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，垂线段最短，角的和差等，构造辅助线是解题的关键．8．D【分析】根据直角和邻补角的定义列出关系式，从而利用等式的性质计算求解．解：由题意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°∴∠3=90°∠1，∠3=180°∠2∴90°∠1=180°∠2∴故选：D．【点拨】本题考查直角和邻补角的概念及等式的性质，掌握相关性质正确列关系式求解是关键．9．D解：试题分析：根据图形可得：∠1+∠2=90°，又∠1=2∠2，所以3∠2=90°，所以∠2=30°，又∠3+∠2=180°，所以∠3=180°30°=150°，故选D．考点：1．互余，2．互补．10．60【分析】本题考查角平分线的定义、一元一次方程的几何应用，先求得，再根据角平分线的定义得到，然后根据题意列方程求解即可．正确得到关于t的方程是解答的关键．解：∵，∴，∵，∴，∵将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转t秒时，平分，∴，则，解得，故答案为：60．11．或【分析】分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可．解：∵，∴．当在直线的右侧时，如图，

∵，∴，∴．当在直线的左侧时，如图，

∵，∴，∴．故答案为：或．【点拨】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，数形结合是解答本题的关键．12．10或70/70或10【分析】分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解．解：如图，，∵，，∴，，∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，∴（秒）；如图，，∵，，∴，，∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，∴旋转角为，∴（秒）；故答案为：10或70．【点拨】本题考查了垂直的定义、角的和差等知识，解题的关键是理解题意，画出图形，利用垂直的定义求解即可．13．5或23/23或5【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．解：∵∠BOC=100°，∴∠AOC=80°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：∠BON=∠AOC=40°，此时，三角板旋转的角度为90°40°=50°，∴t=50°÷10°=5；当ON在∠AOC的内部时，如下图：三角板旋转的角度为360°90°40°=230°，∴t=230°÷10°=23；∴t的值为：5或23．故答案为：5或23．【点拨】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．14．36°解：根据图形的折叠变换可得∠DEG＝2∠DEF＝144°，根据邻补角的性质可知∠AEG＝180°－∠DEG＝36°．15．或【分析】分OC，OD在AB的同侧和异侧两种情况讨论来求解．解：如图,当OC，OD在线段AB的同侧时，，，，，∵，∴,当OC，OD在线段AB的异侧时，反向延长OD到E，，，，，∵，∴,，综上，或；故答案为：或【点拨】本题主要考查了平角定义，垂线定义及角的计算，讨论OC，OD在线段AB的同侧和异侧是解本题的关键．16．/【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．过C作于F，交于E．则的最小值为，利用三角形等面积法求出，即为的最小值．解：过C作于F，交于E，则的最小值为．∵，，，∴，∴CF=，即的最小值为：，故答案为：．17．3【分析】根据垂线段最短的性质，即可得到当时，取最小值，即可解答．解：由题意得，当时，取最小值，此时，故答案为：3．【点拨】本题考查了垂线段最短，熟知本概念是解题的关键．18．A或B或【分析】选A：根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可；选B：同A的方法计算即可．解：选A：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；选B：当在上方时，同A可得：；

当在下方时，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；

故答案为：；或．【点拨】本题考查了角平分线的定义，邻补角，分类讨论等知识；熟练掌握角平分线定义是解题的关键．19．/度【分析】先根据三角形内角和定理得到，再由对顶角相等得到，由此即可得到答案．解：如图所示，由题意得，，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了对顶角相等，三角板中角度的计算，正确推出是解题的关键．20．（1）；（2）；（3），；，【分析】（1）根据是直角和交平分线的性质求解即可；（2）根据是直角和交平分线的性质求解即可；（3）分两种情况讨论：时，时．（1）解：∵，∴，∵是直角，∴，∵平分．，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴，∵是直角，∴；（3）解：①时，由题意得，

∴∴；②时，

由题意得∴∴；【点拨】本题考查相交线，涉及到角平分线的性质、垂直的性质等，灵活运用所学知识是关键．21．（1）120，150；（2）30；（3）30；（4）或，或，或【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，认真审题并仔细观察图形，熟记角平分线的定义，找到各个角之间的关系是解题的关键．（1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数；（2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可；（3）由，，可得，然后作差即可；（4）分两种情况：当三角板绕点O旋转至一边在的内部时；当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，分别根据对顶角相等和周角的定义计算即可．（1）解：∵，，∴，∴；故答案为：120，150；（2）解：∵，∴，又∵平分，∴，∵，∴；故答案为：30；（3）解：，理由如下：∵，，∴，∴，即；故答案为：30；（4）解：分两种情况：当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图，设的延长线为，则，∵，∴，∵，∴．当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图：∵，，∴；都在内时，；都在的对顶角内时，．综上所述，∠COM与∠AON的关系为：或，或，或．故答案为：或，或，或．22．为定值．解：由折叠可知，∠FEA′＝∠FEA，∠GEB＝∠GEA′，所以，．因为∠A′EB＋∠A′EA＝180°，所以，即∠FEG的度数为定值．23．（1），；（2）或；（3）6秒或秒【分析】（1）根据，，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数；（2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线在内部时；②当射线在外部时；分别进行计算即可；（3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可．（1）解：由题意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①当射线在内部时，如图2（1），；②当射线在外部时，如图2（2），，综上所述，的度数为或；（3）∵平分，∴，①如图3，，∵平分，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；②如图3（1），此时，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或秒．【点拨】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．24．（1）见分析；（2）5；两点之间，线段最短；垂线段最短.【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求