15全称量词与存在量词讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版

1.5全称量词与存在量词知识点梳理重点1全称量词和全称量词命题全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.全称量词命题：含有全称量词的命题，叫作全称量词命题.符号语言：通常，将含有变量x的语句用p（x）、q（x）、r（x）……表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为∀x∈M，p（x）.例1.下列命题中全称量词命题的个数是（）（1）所有的二次函数图象与x轴都有两个交点.（2）∀x∈R，.（3）负数的平方都是正数.A.0B.1C.2D.3解析：（1）中含有全称量词“所有的”，所以是全称量词命题（2）中含有全称量词符号“∀”，所以是全称量词命题（3）中的“负数”指的是“所有的”负数，所以是全称量词命题答案：D归纳总结：判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全称量词；二是看该命题是否为省去全称量词的命题.例2.用量词符号表述下列全称量词命题（1）任意一个实数乘以1都等于它的相反数.（2）对任意实数x，都有.（3）.解析：（1）∀x∈R，x·（1）＝x.（2）∀x∈R，.（3）∀x∈R，.重点2存在量词与存在量词命题存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，用符号“”表示.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题.符号语言：存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.注意：（1）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“对某些”“有的”等.（2）一个存在量词命题中也可以包含多个变量，例如：存在a∈R,b∈R，使.（3）含有存在量词“存在”“有一个”等命题，或者虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题，都是存在量词命题.例3.用符号“∃”表示下列存在量词命题（1）存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0成立（2）至少有一个整数x，使2x1＝0.（3）有些整数既能被2整除，又能被3整除.（4）某个四边形不是平行四边形.解析：（1）∃（x，y）∈｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，2x＋3y＋3＜0.（2）∃x∈Z，2x1＝0.（3）∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除（4）∃x∈｛x｜x是四边形｝，x不是平行四边形例4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.（1）有一个实数a，a不能取倒数.（2）所有不等式的解集A，都有A⊆R.（3）自然数的平方是正数.解析：（1）含有存在量词，所以命题（1）为存在量词命题。（3）中“自然数的平方是整数”实质是“任意一个自然数的平方是正数”，所以（2）和（3）中均含有全称量词，故为全称量词命题。重点3含有一个量词命题的否定命题命题的否定结论∀x∈M，p（x）∃x∈M，全称量词命题的否定是存在量词命题∃x∈M，p（x）∀x∈M，存在量词命题的否定是全称量词命题注：通常，我们常用符号“”表示“p（x）不成立”.例5.写出下列命题的否定（1）∀x∈R，.（2）∃x∈R，.解析：（1）命题的否定:∃x∈R，.（2）命题的否定:∀x∈R，.例6.写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）p:每一个素数都是奇数.（2）p:与同一平面所成的角相等的两条直线平行.（3）p:有些实数的绝对值是正数.（4）p:某些平行四边形是菱形.解析：（1）由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，:存在一个素数不是奇数，是真命题.（2）是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，:存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题.（3）由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，:所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.（4）由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，:每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.补充习题利用全称量词和存在量词命题求参数范围例7.若“∃x∈R，”是真命题，则实数a的取值范围是___________.解析:若“∃x∈R，”是真命题，则△＞0，即4＋4a＞0，解得a＞1.答案：｛a｜a＞1