161二次根式的概念及性质(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

16.1二次根式的概念及性质二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

注意：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，a(a≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A、当a+1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、当a﹣1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、当a＝0时，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．【变式11】下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．【解答】解：②，被开方数小于0，不是二次根式；③是三次根式；⑤当a＜9时，被开方数小于0，不是二次根式；⑥，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被开方数小于0，不是二次根式；①；④（x≤3）；⑦（ab≥0）是二次根式．故选：B．【变式12】下列式子中，一定属于二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义判断即可．【解答】解：A选项，被开方数不是非负数，没有意义，故该选项不符合题意；B选项，被开方数不能保证x﹣2是非负数，故该选项不符合题意；C选项，是三次根式，故该选项不符合题意；D选项，是二次根式，故该选项符合题意；故选：D．二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

注意：二次根式具有非负性

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。2).≥0时，==；<0时，无意义，=.2.若有意义，则（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，2x+1≥0，解得，故选：A．【变式21】代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．【解答】解：由题意可知：，解得：x≥1，∴x的值可能为1．/故选：D．【变式22】二次根式有意义，则x满足的条件是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x﹣2＞0，解得，x＞2．故选：B．【变式23】（1）已知是整数，求自然数n所有可能的值；（2）已知是整数，求正整数n的最小值．【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．【解答】解：（1）∵是整数，∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，则自然数n的值为2，9，14，17，18；（2）∵是整数，n为正整数，∴24n＝144，即n＝6，则正整数n的最小值为6．利用二次根式的性质进行计算3.计算下列各式：(1)(2)【答案与解析】(1).(2).【总结】二次根式性质的运用.【变式31】（1）=_____________.（2）=_____________.【答案】(1)10;(2)0.4.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b【分析】根据数轴可判断a、a﹣b与0的大小关系，然后利用绝对值的性质以及二次根式的性质即可化简求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＞0，b＜a，∴a﹣b＞0，∴原式＝a+a﹣b＝2a﹣b，故选：A．【变式41】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|．【解析】解：由图可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|，所以，a+c＜0，c﹣b＜0，=﹣a+a+c+b﹣c﹣b=0.【总结】根据数轴判断出a、b、c的正负性，根据二次根式的性质与化简、绝对值的性质，正确进行计算即可.【变式42】若整数满足条件则的值是___________.【答案】=0或=1.【变式43】若x，y都是实数，且y＝++8，求3x+2y的平方根．【分析】直接利用二次根式有意义的条件