2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.11.1.1空间向量及其运算学案新人教B版选择性必修第一册

PAGE第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算学习任务核心素养1.了解空间向量、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、平行向量、共面对量等概念．(重点)2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，驾驭数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)3.驾驭两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点)1.通过空间向量有关概念的学习，培育数学抽象素养.2.借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养.3.借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养.国庆节期间，某游客从上海世博园(O)巡游结束后乘车到外滩(A)欣赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？假如游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海漂亮的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？图1图2学问点1空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．(2)模(或长度)：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq\o(AB,\s\up9(→))，模为|eq\o(AB,\s\up9(→))|.②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，….1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量就是空间中的一条有向线段． ()(2)随意两个空间向量可以比较大小． ()[答案](1)×(2)×学问点2几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0.(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量相互平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与随意向量平行．两个向量平行也称为两个向量共线．(6)共面对量：一般地，空间中的多个向量，假如表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．1.空间中随意两个向量共面吗？空间中随意三个向量呢？[提示]空间中随意两个向量都是共面的，但空间中随意三个向量不肯定共面．2.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个相反向量的和为零向量． ()(2)只有零向量的模等于0.()(3)空间中随意两个单位向量必相等． ()[答案](1)√(2)√(3)×[提示]大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；随意两个单位向量的大小相等，但方向不肯定相同，故不肯定相等．学问点3空间向量的线性运算类似于平面对量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1图2(1)如图1，eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OC,\s\up9(→))＝a－b.(2)如图2，eq\o(DA,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(DB1,\s\up9(→)).即三个不共面对量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与随意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa.其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.(4)空间向量的线性运算满意如下运算律：对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb.3.(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为eq\o(AC1,\s\up9(→))的是()A．eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→)) B．eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＋eq\o(D1C1,\s\up9(→))C．eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→)) D．eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))ABCD[依据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行推断：对于A，eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→))；对于B，eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＋eq\o(D1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AD1,\s\up9(→))＋eq\o(D1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→))；对于C，eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→))；对于D，eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AB1,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→)).故选ABCD．]学问点4空间向量的数量积(1)空间向量的夹角假如〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a与b垂直，记作a⊥b.对空间两个向量夹角的理解，应留意以下几点：(1)由概念知两个非零向量才有夹角，零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与随意向量a都垂直．(2)对空间随意两个非零向量a，b，有：①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉；③〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(AC,\s\up9(→))〉＝〈eq\o(BA,\s\up9(→))，eq\o(CA,\s\up9(→))〉＝π－〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CA,\s\up9(→))〉．(2)空间向量的数量积的定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积(或内积)，记作a·b.2.空间向量的数量积的运算符号“·”能省略吗？能写成“×”吗？[提示]不能．(3)数量积的几何意义①向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特殊地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与随意向量的数量积为0.(4)空间向量的数量积的性质①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(安排律)．(1)两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号确定．当θ为锐角时，a·b＞0，但当a·b＞0时，θ不肯定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，a·b＜0，但当a·b＜0时，θ不肯定是钝角，因为θ也可能为π.(2)数量积运算不满意消去律．若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量，就不成立，即a·b＝b·ca＝c，由图可以看出．(3)数量积运算不满意结合律．数量积运算只满意交换律、加乘安排律及数乘结合律，但不满意乘法结合律，即(a·b)c不肯定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不肯定共线．(4)在求两个困难向量的数量积时，依据向量数量积满意的运算律，可按多项式的乘法公式绽开运算．常用的变形公式有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(5)对于随意一个非零向量a，我们把eq\f(a,|a|)称为向量a的单位向量，记作a0，a0与a方向相同．(6)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b肯定是零向量，这是因为对于随意一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.4.(1)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，则①〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝________；②〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(C1A1,\s\up9(→))〉＝________；③〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1D1,\s\up9(→))〉＝________.(2)下列命题中正确的是()A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0(1)①45°②135°③90°(2)B[(1)①因为eq\o(A1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))，所以〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(AC,\s\up9(→))〉．又∠CAB＝45°，所以〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝45°.②〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(C1A1,\s\up9(→))〉＝180°－〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝135°.③〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1D1,\s\up9(→))〉＝90°.(2)对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A错误．对于C项，数量积不满意结合律，∴C错误．对于D项，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不肯定等于零，故D错误．对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．]类型1空间向量的概念及简洁应用【例1】(1)下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满意结合律D．在四边形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))(2)如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：①试写出与eq\o(AB,\s\up9(→))是相等向量的全部向量；②试写出eq\o(AA1,\s\up9(→))的相反向量；③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up9(→))的模．(1)B[|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律．一般的四边形不具有eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．](2)[解]①与向量eq\o(AB,\s\up9(→))是相等向量的(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))及eq\o(D1C1,\s\up9(→))，共3个．②向量eq\o(AA1,\s\up9(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up9(→))，eq\o(B1B,\s\up9(→))，eq\o(C1C,\s\up9(→))，eq\o(D1D,\s\up9(→)).③|eq\o(AC1,\s\up9(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up9(→))|2＋|\o(AD,\s\up9(→))|2＋|\o(AA1,\s\up9(→))|2))＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.1．在空间中，向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面对量的相关概念完全一样．2．两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．[跟进训练]1．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(A1C1,\s\up9(→))；③若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是()A．0B．1C．2D．3B[两个空间向量相等，它们的始点、终点不肯定相同，故①不正确；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(A1C1,\s\up9(→))成立，故②正确；③明显正确．故选B．]2.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量：①eq\o(AB,\s\up9(→))与eq\o(C1D1,\s\up9(→))；②eq\o(AC1,\s\up9(→))与eq\o(BD1,\s\up9(→))；③eq\o(AD1,\s\up9(→))与eq\o(C1B,\s\up9(→))；④eq\o(A1D,\s\up9(→))与eq\o(B1C,\s\up9(→)).其中互为相反向量的有n对，则n等于()A．1B．2C．3D．4B[对于①eq\o(AB,\s\up9(→))与eq\o(C1D1,\s\up9(→))，③eq\o(AD1,\s\up9(→))与eq\o(C1B,\s\up9(→))长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②eq\o(AC1,\s\up9(→))与eq\o(BD1,\s\up9(→))长度相等，方向不相反；对于④eq\o(A1D,\s\up9(→))与eq\o(B1C,\s\up9(→))长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]类型2空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，N是A1B的中点，若eq\o(CA,\s\up9(→))＝a，eq\o(CB,\s\up9(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up9(→))＝c，则eq\o(CN,\s\up9(→))＝()A．eq\f(1,2)(a＋b－c)B．eq\f(1,2)(a＋b＋c)C．a＋b＋eq\f(1,2)cD．a＋eq\f(1,2)(b＋c)(2)(对接教材人教B版P6例1)如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．①eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(CB,\s\up9(→))；②eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→)).(1)B[如图，取AB中点为D，连接DN.eq\o(CN,\s\up9(→))＝eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，故选B．](2)[解]①eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(CB,\s\up9(→))＝eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AD′,\s\up9(→)).②eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→))＝(eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→))＝eq\o(AB′,\s\up9(→))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→))＝eq\o(AC′,\s\up9(→)).向量eq\o(AD′,\s\up9(→))，eq\o(AC′,\s\up9(→))如图所示．1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，敏捷应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减运算时，务必要留意和向量、差向量的方向，必要时可采纳空间向量的自由平移获得更精确的结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合详细图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，奇妙运用中点性质．[跟进训练]3.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，eq\o(AD,\s\up9(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up9(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up9(→))；(3)eq\o(MP,\s\up9(→))＋eq\o(NC1,\s\up9(→)).[解](1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(A1D1,\s\up9(→))＋eq\o(D1P,\s\up9(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up9(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up9(→))＝eq\o(A1A,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BN,\s\up9(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up9(→))＝eq\o(MA,\s\up9(→))＋eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up9(→))＋eq\o(AP,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up9(→))＝eq\o(NC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up9(→))＋eq\o(NC1,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.类型3数量积的运算及应用【例3】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))；(2)eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))；(3)(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(CB,\s\up9(→)))．1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示](1)随意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面对量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．2．联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a，b的夹角？如何求|a＋b|?[提示]借助cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，求向量a，b的夹角．借助|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)求模．[解](1)正四面体的棱长为1，则|eq\o(OA,\s\up9(→))|＝|eq\o(OB,\s\up9(→))|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，所以eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))＝|eq\o(OA,\s\up9(→))||eq\o(OB,\s\up9(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(OB,\s\up9(→))〉＝|eq\o(OA,\s\up9(→))||eq\o(OB,\s\up9(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EFeq\f(1,2)AC，于是eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))＝|eq\o(EF,\s\up9(→))||eq\o(CB,\s\up9(→))|cos〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)|eq\o(CA,\s\up9(→))|·|eq\o(CB,\s\up9(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos〈eq\o(AC,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(3)(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(CB,\s\up9(→)))＝(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OC,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OC,\s\up9(→)))＝(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))－2eq\o(OC,\s\up9(→)))＝eq\o(OA,\s\up9(→))2＋eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))－2eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))2－2eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＝1＋eq\f(1,2)－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1－2×eq\f(1,2)＝1.1．(变条件，变结论)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长．[解]由题意知eq\o(OH,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→)))，eq\o(OE,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))，∴eq\o(EH,\s\up9(→))＝eq\o(OH,\s\up9(→))－eq\o(OE,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))，∴|eq\o(EH,\s\up9(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB2,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))2＋eq\o(OA,\s\up9(→))2＋2eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))－2eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))－2eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→)))，又|eq\o(OB,\s\up9(→))|＝|eq\o(OC,\s\up9(→))|＝|eq\o(OA,\s\up9(→))|＝1，且〈eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OC,\s\up9(→))〉＝60°，〈eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OA,\s\up9(→))〉＝60°，〈eq\o(OC,\s\up9(→))，eq\o(OA,\s\up9(→))〉＝60°，∴eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)，eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)，eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))＝eq\f(1,2).∴|eq\o(EH,\s\up9(→))|2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1＋2×\f(1,2)－2×\f(1,2)－2×\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，即|eq\o(EH,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(2),2)，所以EH的长为eq\f(\r(2),2).2．(变结论)求异面直线OH与BE所成角的余弦值．[解]在△AOB及△BOC中，易知BE＝OH＝eq\f(\r(3),2)，又eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OH,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→)))，∴eq\o(BE,\s\up9(→))·eq\o(OH,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))2－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).∴cos〈eq\o(BE,\s\up9(→))，eq\o(OH,\s\up9(→))〉＝eq\f(\o(BE,\s\up9(→))·\o(OH,\s\up9(→)),\o(|\o(BE,\s\up9(→))||\o(OH,\s\up9(→))|))＝－eq\f(2,3)，又异面直线所成角的范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故异面直线OH与BE所成角的余弦值为eq\f(2,3).1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积绽开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)依据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a|·|b|.提示：在求两个向量夹角时，要留意向量的方向．如本例中〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝120°，易错写成60°，为避开出错，应结合图形进行计算．1．对于空间随意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件B[明显，〈a，b〉＝0⇒a∥b.但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种状况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因为a∥b〈a，b〉＝0，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．]2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是()A．eq\o(AB,\s\up9(→))与eq\o(A1C1,\s\up9(→)) B．eq\o(AB,\s\up9(→))与eq\o(CA,\s\up9(→))C．eq\o(AB,\s\up9(→))与eq\o(A1D1,\s\up9(→)) D．eq\o(AB,\s\up9(→))与eq\o(B1A1,\s\up9(→))A[A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A．