2024-2025学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课时素养评价含解析新人教A版选修1-2

PAGE复数代数形式的乘除运算(20分钟35分)1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则QUOTE= ()A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以QUOTE=2-3i.2.(2024·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.化简QUOTE的结果是 ()A.2+i B.-2+i C.2-i D.-2-i【解析】选C.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i.4.已知复数z=(2-i)2(i为虚数单位),则z的共轭复数为________.

【解析】z=(2-i)2=3-4i,QUOTE=3+4i.答案:3+4i5.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则QUOTE的值为________.

【解析】因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,所以QUOTE=2.答案:26.已知QUOTE为z的共轭复数,若z·QUOTE-3iQUOTE=1+3i,求z.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则QUOTE=a-bi(a,b∈R),由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以z=-1或z=-1+3i.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.计算QUOTE+QUOTE的值是 ()A.0 B.1 C.i 【解析】选D.原式=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+i=QUOTE+i=2i.2.设a是实数,且QUOTE∈R,则实数a= ()A.-1 B.1 C.2 【解析】选B.因为QUOTE∈R,所以不妨设QUOTE=x,x∈R,则1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有QUOTE所以a=1.3.设z=3-i,则QUOTE= ()A.3+i B.3-i C.QUOTEi+QUOTE D.QUOTE+QUOTEi【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.4.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是 ()A.若|z1-z2|=0,则QUOTE=QUOTEB.若z1=QUOTE,则QUOTE=z2C.若|z1|=|z2|,则z1·QUOTE=z2·QUOTED.若|z1|=|z2|,则QUOTE=QUOTE【解析】选D.A项,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒QUOTE=QUOTE,真命题;B项,z1=QUOTE⇒QUOTE=z2,真命题;C项,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1·QUOTE=z2·QUOTE,真命题;D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,明显QUOTE=1,QUOTE=-1,即QUOTE≠QUOTE,假命题.5.设i是虚数单位,QUOTE是复数z的共轭复数.若z·QUOTEi+2=2z,则z= ()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】选A.设z=a+bi(a,b∈R),则QUOTE=a-bi,又z·QUOTEi+2=2z,所以(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以a=1,b=1,故z=1+i.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(1+i)20-(1-i)20的值等于________.

【解析】因为(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.答案:07.若z1=a+2i,z2=3-4i,且QUOTE为纯虚数,则实数a的值为________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为QUOTE为纯虚数,所以QUOTE所以a=QUOTE.答案:QUOTE8.设x,y为实数且QUOTE+QUOTE=QUOTE,则x+y=________.

【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE可化为,QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTEi=QUOTE+QUOTEi,由复数相等的充要条件知QUOTE所以QUOTE所以x+y=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.设复数z=QUOTE,若z2+QUOTE<0,求纯虚数a.【解析】由z2+QUOTE<0可知z2+QUOTE是实数且为负数.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.因为a为纯虚数,所以设a=mi(m∈R且m≠0),则z2+QUOTE=(1-i)2+QUOTE=-2i+QUOTE=-QUOTE+QUOTEi<0,所以QUOTE所以m=4,所以a=4i.10.复数z=QUOTE且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,QUOTE对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.【解析】z=QUOTE(a+bi)=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.由|z|=4,得a2+b2=4①,因为复数0,z,QUOTE对应的点构成正三角形,所以|z-QUOTE|=|z|.把z=-2a-2bi代入化简得,|b|=1②.又因为z对应的点在第一象限,所以a<0,b<0.由①②得QUOTE故所求值为a=-QUOTE,b=-1.1.已知复数z满意(3+4i)z=5i2020(i为虚数单位),则|z|=________.

【解析】由(3+4i)z=5i2020,得z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以|z|=QUOTE=1.答案:12.已知QUOTE+QUOTE=2n,求最小正整数n.【解析】原等式可化为QUOTE+QUOTE=2n,即[(1+i)2]n(1+i)+[(1-i)2]n·(1-i)=2·2n,(2i)n(1+i)+(-2i)n(1-i)=2·2n,2n·in(1+i)+2n(-i)n(1-i)=2·2n,所以in[(