黄南市重点中学2025届数学高三上期末达标测试试题含解析

黄南市重点中学2025届数学高三上期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（）A．20 B．30 C．50 D．602．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．3．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．天津的往返机票平均价格变化最大C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（）．A． B． C． D．5．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．7．已知函数的一条切线为，则的最小值为（）A． B． C． D．8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A． B． C． D．9．设是虚数单位，复数（）A． B． C． D．10．设集合，集合，则=（）A． B． C． D．R11．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）A． B． C． D．512．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，满足，，，则的取值范围为_________.14．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．15．如图,已知，，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_____．16．在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．18．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.19．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,是的中点.（1）.求证:平面平面;（2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.（1）求频数分布表中，的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.【详解】由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得，则的面积为，当最大时，的面积最大，由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，又由，可得椭圆的上下顶点坐标为，所以的面积的最大值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.2、D【解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.3、D【解析】

根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.故选：D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.4、B【解析】

根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【详解】因为终边上有一点，所以，故选：B【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.5、A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6、A【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．7、A【解析】

求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.【详解】，则，取，，故，.故，故，.设，，取，解得.故函数在上单调递减，在上单调递增，故.故选：.【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8、C【解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选：C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.9、D【解析】

利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10、D【解析】试题分析：由题，，，选D考点：集合的运算11、A【解析】

由于，且为单位向量，所以可令，，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设，，，则，从而，等号可取到．故选：A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．12、A【解析】

作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果.【详解】如图，作交于点，则，由题意，，，且，所以又，所以，，即，所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设，，，，由，，，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，为的距离，利用数形结合求解.【详解】设，，，，如图所示：因为，，，所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，则即的距离，由图可知，.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.14、，【解析】

根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，，，，，从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.又，，得，取，所以，．故答案为：，．【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15、【解析】

建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.【详解】建立直角坐标系如图所示：则点,,,设点,所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,,其中,因为,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.16、15【解析】

由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出面积的最大值.【详解】画出图形：因为，，由角平分线定理得,设，则由余弦定理得：即当且仅当，即时取等号所以面积的最大值为15故答案为：15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】（1），，为等边三角形，，椭圆的标准方程为．（2）设四边形的面积为．①当直线的斜率不存在时，可得，，．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立得：，，，．，，，，面积．令，则，，令，则，，在定义域内单调递减，．综上所述：四边形面积的取值范围是．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.18、（1）（）；（2）证明见解析.【解析】

（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.【详解】（1）设，由已知，∴，∴（），化简得点的轨迹的方程为：（）；（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意故可设直线的方程为：（），代入的方程得：.设，，则，，.∴直线：.令，得.直线过轴上的定点.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.19、（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在点建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值为建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）平面平面因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则取，则为面法向量．设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则．于是．设直线与平面所成角为，则即