江苏省常州市前黄国际中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

江苏省常州市前黄国际中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.62．已知离散型随机变量X的分布列如下：X123P则数学期望（）A. B.C.1 D.23．已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A. B.C D.4．数列满足且，则的值是（）A.1 B.4C.－3 D.65．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A. B.C. D.6．如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A. B.C. D.7．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（）A.3 B.4C.5 D.69．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在双曲线上，且轴，若则双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.310．函数的图像大致是（）A B.C. D.11．已知函数的导函数满足，则（）A. B.C.3 D.412．已知是边长为6的等边所在平面外一点，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______14．已知，在直线上存在点P，使，则m的最大值是_______.15．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左右焦点，也是C2的左右焦点，并且六边形是正六边形.若椭圆C1的方程为，则双曲线方程为______.16．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答设等差数列的前n项和为，，______；设数列的前n项和为，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18．（12分）已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.19．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）请写出y与x的函数关系式；（2）求排放污水150吨的污水处理费用.21．（12分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.22．（10分）已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】结合基本不等式求得所求的最小值.【详解】，，当且仅当时等号成立.故选：C2、D【解析】利用已知条件，结合期望公式求解即可【详解】解：由题意可知：故选：D3、C【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.4、A【解析】根据题意，由于，可知数列是公差为-3的等差数列，则可知d=-3,由于=，故选A5、A【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A.6、A【解析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.【详解】连接，如下图所示：因为为的中点，所以，又因为为的中点，所以，所以，故选：A.7、D【解析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断【详解】若，，则，，充分性不成立；反过来，若，，则时，必要性不成立；因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.故选：D8、B【解析】由已知结合等比数列的性质可求出、，然后结合等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：由题意得：是递增等比数列又，，故故选：B9、B【解析】由双曲线定义结合通径公式、化简得出，最后得出离心率.【详解】，，，解得故选：B10、B【解析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.【详解】由得，或，选项A，C不满足；由求导得，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足.故选：B11、C【解析】先对函数求导，再由，可求出的关系式，然后求【详解】由，得，因为，所以，所以，故选：C12、C【解析】由题意分析可得，当时三棱锥的体积最大，然后作图，将三棱锥还原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半径的计算方法来计算，即可计算出球半径，从而完成求解.【详解】由题意可知，当三棱锥的体积最大时是时，为正三角形，如图所示，将三棱锥补成正三棱柱，该正三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先求得函数在区间上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数的取值范围.【详解】∵在上恒成立，∴当时，取最大值1，∵对任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，则，，∵在上恒成立，∴在上为减函数，∵当时，，故当时，取最大值1，故，故答案为【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档14、11【解析】设P点坐标，根据条件知，由向量的坐标运算可得P点位于圆上，再根据P存在于直线上，可知直线和圆有交点，因此列出相应的不等式，求得m范围，可得m的最大值.【详解】设P（x,y）,则，由题意可知,所以，即，即满足条件的点P在圆上，又根据题意P点存在于直线上，则直线与圆有交点，故有圆心(1,0)到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，则m的最大值为11，故答案为：11.15、【解析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，然后根据为正六边形求得点的坐标，即点在双曲线上，然后解出方程即可【详解】设双曲线的方程为：根据椭圆的方程可得：又为正六边形，则点的坐标为：则点在双曲线上，可得：又解得：故答案为：16、【解析】根据投影向量的计算公式，计算出正确答案.【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）条件选择见解析，，（2）【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，选①由求解；选②由求解；选③由求解；则，由，利用数列通项与前n项和公式求解；（2）易知，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：设数列的首项为，公差为d，选①得，则，选②得，则，选③得，则，所以数列的通项公式为因为，所以当时，，则当时，，则，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以【小问2详解】因为，所以数列的前n项和①②①-②得∴，则18、（1）证明过程见解析；（2）.【解析】（1）根据面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小问2详解】（2）建系如图：设平面的法向量，，，，，，则，设，，，解得或（舍），，∴.19、（1）（2）是，0【解析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：，则，，进而根据得，进而得答案；（2）直线的方程为，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案.【小问1详解】解：由题意，设抛物线的方程为：，所以点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，即，解得.所以抛物线的方程为：【小问2详解】解：设直线的方程为，则联立方程得，所以，，因为，所以.所以为定值.20、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根据已知条件即可容易求得函数关系式；（2）根据（1）中所求函数关系式，令，求得函数值即可.【小问1详解】根据题意，得：当时，；当时，；当时，.即.【小问2详解】因为，故，故该厂应缴纳污水处理费1400元.21、（1）（2）【解析】（1）根据降幂公式化简的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间；（2）由正弦定理边化角，从而可求得，根据锐角三角形可得从而可求出答案【详解】解：（1），由得所以的单调递减区间为；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵为锐角三角形，∴解得∴∴的取值范围为【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题22、（1）（2）（3）最大值为，最小值为【解析】