广西玉林市福绵区2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

广西玉林市福绵区2025届高二数学第一学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线（）的焦距为12，则（）A.1 B.2C.3 D.42．命题P：ax2+2x﹣1＝0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是（）A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}3．若直线与直线垂直，则（）A6 B.4C. D.4．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)5．某工厂去年的电力消耗为千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦6．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为、，左顶点为，左焦点为，若直线与直线互相垂直，则椭圆的离心率为A. B.C. D.8．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（）A. B.C. D.9．观察数列，（），，（）的特点，则括号中应填入的适当的数为（）A. B.C. D.10．已知函数在处的导数为，则（）A. B.C. D.11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A. B.C. D.12．集合，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，且，则的值是_________.14．已知向量，，，若，则____________.15．已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______16．在长方体中，设，，则异面直线与所成角的大小为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18．（12分）如图，五边形为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出，两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．现已知，，千米，千米（1）求服务通道的长（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大，并求最大值19．（12分）如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线，将△沿着对角线BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一点M，且平面ABCD，（1）求证：平面平面ABD；（2）求点M到平面ABE的距离；（3）求二面角的正弦值20．（12分）已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为k的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若的面积为定值，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.21．（12分）求下列函数导数：（1）；（2）；22．（10分）如图，三棱锥中，两两垂直，，且分别为线段的中点.（1）若点是线段的中点，求证：直线平面；（2）求证：平面平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.【详解】因为可化为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.2、C【解析】根据是假命题，判断出是真命题.对分成，和两种情况，结合方程有实数根，求得的取值范围.详解】┐p是假命题，则p是真命题，∴ax2+2x﹣1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合题意；当a≠0时，方程有根，等价于△＝4+4a≥0，∴a≥﹣1且，综上所述，a的可能取值为a≥﹣1故选：C【点睛】本小题主要考查根据命题否定的真假性求参数，属于基础题.3、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即故选：A.4、B【解析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故选：B.5、D【解析】根据等比数列的定义进行求解即可.【详解】因为去年的电力消耗为千瓦，工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，所以今年的电力消耗为，因此从今年起，该工厂第5年消耗的电力为，故选：D6、C【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意又则有：可得：，，中，中．可得：解得：则有：故选：C7、C【解析】依题意，直线与直线互相垂直，，，故选8、D【解析】由离心率得，再由转化为【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以故选：D.9、D【解析】利用观察法可得，即得.【详解】由题可得数列的通项公式为，∴.故选：D10、C【解析】利用导数的定义即可求出【详解】故选：C11、A【解析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为故选：A【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题12、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【详解】解不等式得：，则有，解不等式，解得或，则有或，所以为.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据空间向量可得，结合计算即可.【详解】由题意知，，所以，解得.故答案：314、【解析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为向量，，，所以向量，因为，所以，即，解得故答案为：15、16【解析】根据椭圆定义可得：，再用基本不等式求解.【详解】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16故答案为：1616、##【解析】建立空间直角坐标系，用向量法即可求出异面直线与所成的角.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则,所以，因为，所以，即，所以异面直线与所成的角为.故答案为：90°.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项，可得，再根据等差数列的前项和公式，即可求出，，进而求出结果；（2）由（1）得，结合等比数列前项和公式和对数运算性质，利用分组求和，即可求出结果.【小问1详解】解：设的公差为，由，，成等比数列可知，即，化简得.由可得，所以.将代入，得，，所以.小问2详解】解：由（1）得，所以.18、（1）服务通道的长为千米（2）时，折线赛道的长度最大，最大值为千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到长度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根据基本等式求解最值即可.【小问1详解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（负值舍去）所以服务通道的长为千米【小问2详解】在中，由余弦定理得：，即，所以因为，所以，所以，即（当且仅当时取等号）即当时，折线赛道的长度最大，最大值为千米19、（1）证明见解析；（2）1；（3）.【解析】（1）过E作EO垂直于BD于O，连接AO，由勾股定义易得，由菱形的性质有，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求的坐标及面ABE的法向量，应用空间向量的坐标运算求点面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，结合（2）中面ABE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值.【小问1详解】过E作EO垂直于BD于O，连接AO，因为，，故，同理，又，所以，即因为ABCD为菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD【小问2详解】以O为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，面ABE的法向量为，所以，令，则又，则点M到面ABE的距离为【小问3详解】由（2）得：面ABE的一个法向量为，且，若面MBA的法向量为，则，令，则所以，故二面角正弦值为20、（1）（2）是定值，定值为6【解析】（1）根据题意条件，可直接求出的值，然后再利用条件中、的关系，借助即可求解出、的值，从而得到椭圆方程；（2）根据已知条件设出、所在直线方程，然后与椭圆联立方程，分别表示出根与系数的关系，再表示出弦长关系，再计算点到直线的距离，把面积用和的式子表示出来，通过给出的面积的值，找到和的等量关系，将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的中即可得到答案.【小问1详解】由题意：，由知：，故椭圆C的标准方程为，【小问2详解】设：，①椭圆.②联立①②得：，，即∴，O到直线l的距离，∴，∴，即，∴.故为定值6.21、（1）；（2）【解析】根据基本初等函数的导数公式以及导数的运