2023届高考数学一轮复习作业空间向量的运算及应用新人教B版

空间向量的运算及应用

[4组在基础中考查学科功底]

一、选择题

1.(2021•广西柳州高三期末)向量a=(2,4,5),向量6=(1,2,t),若a_L6,则实数

t=()

58

A.7;B.1C.-2D.-T

C[因为向量a=(2,4,5),向量b=(l,2,t),若々_1_。，

则a・b=2Xl+4X2+5£=Q,解得£=一2,故选C.]

2.(2021•浙江镇海中学高三期末)已知空间三点4(—2,0,8),P(勿，勿，加，8(4,一

4,6),若向量为与南的夹角为600,则实数加=()

A.1B.2C.-1D.-2

B[VJ(—2,0,8),P(m,m,勿)，6(4,—4,6),

:・PA=(-2—m,一见8—而,PB=(4—ZP,-4一见6—加，

4的*士…\7A-'PB\

由题尽有cos60=~^一二~

国II法

________3序一129+40_______

43“一12/ff~F68q3,-126+68

即—12/TT+40,整理得病-4R+4=0,解得勿=2.]

3.若平面明£的一个法向量分别为—1),n=(2,—3,0),则()

A.a"B

B.a

C.。与万相交但不垂直

I).。〃万或。与£重合

B「・"•〃=：X2+；X(―3)+(―1)X0=0,.•・©_!_〃，万，故B正确，C不正

乙13

确；不存在入，使得皿=入〃,则A,D均不正确.]

4.对于空间一点。和不共线的三点4B,C,有6苏=5+2为+3懑则()

A.0,力,B,。四点共面

B.P,A,B,。四点共面

C.0,P,B,。四点共面

D.0,P,A,B,。五点共面

R［由6四为+2而+R正

得方—而=2（而一冽+3（应一冽，

即诵=2两+3讫

故正港元共面，又它们有公共点只

因此，尸，4B,。四点共面，故选B.］

5.已知茄=&赤=儿如图，在平行六面体力筋■4打G"中，刀尸c,则用向量a,b,

c可表示向量能为（）

A.a+6+c

C.a-\-b~c0.-a+b+c

D［在平行六面体力灰力〃中，BR=BA+AD+。队=-AB+A叶AA\=-a+b+c.］

6.（2021•重庆南开中学高三期末）如图，ALL平面486〃四边形川吩为矩形，其中

AD=2AB,£是切的中点，尸是4?上一点，当BF工PE时,AF：FD={）

D［以力为坐标原点，AB,AD,/尸所在的直线分别为必y,z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示，设月8=1,贝IJ49=2,设HP=a,

所以1(0,0,0),Ml,o,0),〃(0,2,0),2,0j,尸(0,0,血，

设产(0,必0),则比一弓，2,一，，必0),

因为BRLPE,所以即•PE=Q,所以-5+27=0,解得y=),

乙T

(1A]1717

所以《0,Oj,所以"'=[,则功=2—彳=彳，所以"<:&>=彳：[=1：7,故选D.]

二、填空题

7.在正三棱柱力仅7-484中，月8=44=2,点〃满足砺=](耘+就)，贝UI而I

乙

2[因为三棱柱/G46G是正三棱柱，所以平面48。，且△加。为等边三角形，

如图建立以力为原点，”>所在的直线为y轴，过点力垂直于〃•的直线为x轴，44i所

在的直线为z轴的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),B(木,1,0),4(0,0,2),6,(0,2,0),』(木,1,0),就=(0,0,2),

所以而=:(孤就)1,2)=停.1)即《当,.1)

所以I⑺=+7-2+1-02=2.]

8.已知a=(4,—2,6)»b—(—1,4»—2),c—(7,5,4),若a,b,c三向量共面,

贝I]X=________

—[因为a,b,c三向量共面，所以存在力，〃£R,使得。=侬+〃6,

4/»-72=7,

则c=(7,5,A)=(4/»—/?,—2勿+44,6加一2〃)，即,一2旷F4〃=5,解得

6/7?—2/7=4,

⑴•・,川为度的中点，.:V(0,2,1),

则嬴=(一2,0,1),~AD=(-?.,0,0),~AF=(0,0,2),

：.BM=AD+-AF,故BM,AD,4/英面.

又B出平面ADEF,，飒〃平面/应冗

(2)而=(-2,2,0),~DR=(2,2,0),~DE=(0,0,2),

•・•诙•防=-4+4=0,：.BCA.DB,

又访•应=0,C.BCVDE.

又DECDB=D,DB,DEu平面BDE,；.BC工平面8M.

11.如图，在直三棱柱力4G月由G的面力比中，CA=CB=3/BCA=90°,棱力4=2,

M,N,〃分别是48,M,8G的中点.

⑴求向量质的模;

⑵点，是线段施上一点，且箭4口求证：械平面。氏

［解］由题意，CA,CB,CG两两垂直，以。为原点，如图建立空间直角坐标系,

则4(1,0,0),8(0,1,0),61(0,0,0),4(1,0,2),8(0,1,2),6(0,0,2).

(1)因为M，分别为44笈。中点，

因此40,之,2j,Ml,0,1),

即於(1,-1,-lj,

।麻=q1+O+-i2=|.

⑵证明：由题意得小，o,D，4,看2),

设平面G肝的法向量为〃=(x,y,z),GJ/=&上，oj,GP=(1,0,—g

n•6;j/=-^+-y=0,

令x=l,y=­1,z=2.

一!

(n•G-L]z=0,

,*.n=(1,—1,2),又加9=(—1,1,—2)=~n,

••・46_L平面CxMP.

[B组在综合中考查关键能力]

1.如图所示的平行六面体例⑦■4笈C〃中，已知力8=44=49,/BAQNDAAi=60°,

N胴4=30°,N为44上一点，且4小J44儿

(1)若即_L4V,则4的值为；

⑵若时为棱。〃的中点，8必/平面48M则4的值为.

(1)V3-1(2)|[⑴取空间中一组基底：~AB=a,~AD=b,而尸c,因为皮LL/1M

O

所以砺・就J=0.

因为BD=AD—AB=b—a,zt¥=/4+4N=c+九b,

所以(b—a)•(c+九5)=0,

所以J+x—噂-J=0,所以4=小一1.

乙乙乙

(2)在月〃上取一点朗使得4AJ/W5,连接用Y,机机MB因为4;V〃4M且4人44,所

以四边形44阳为平行四边形，又AA4盼,所以M力幺44,所以四边形.阳能为平行

四边形，所以NBJ/探B,NB\=M\B,

又因为掰尔平面仍,V,仍u平面仍A。

D、

所以〃平面ARN,

又因为〃平面力7W,且BMCM4B,

所以平面M.如〃平面A氏N,

所以捌〃平面AByN.

又因为平面平面仍W=4V；且MMu平面AAiBO,

所以林加4V,所以△AUSA.MM,

刎二她二4〃2

所以所以八=『

丽=砺1-4~~MT2]

2.如图所示，在平行四边形力及⑵中，AB=AC=CD=\1ZACD=90°,把△力先沿对角

线/折起，使仍与切成60°角，则即的长为.

D

B

2或添厂・,力6与切成60°角,

:.(BA,6=60°或120°.

又,：AB=AC=CD=\,AC工CD,ACLAB,

・•・।励=y1^=q后+元+而2

=、/函十病十力十2防・病+2位7・访+2荡・元?

=v1+1+1+0+0+2X1XIXcos〈BA,CEf)

=v3+2cos〈加，C6,

・・・|筋1=2或的长为2或］

3.（2021•黑龙江哈师大附中高三三模）如图，四棱锥产川阳9的底面力版是矩形，PD

J_平面力比2PD=AB=2BC=4,E,F地板PC,加上的点，而=3击PF=2FB.

(1)求证：肝'〃平面BDE；

⑵棱川上是否存在点机使CWJ_平面及/？若存在，求出士的值；不存在，请说明理

由.

［解］(1)证明：・・・W_L平面力比〃AD,C上平面加徽

:.PDLAD,PD1CD,在矩形四仪?中，ADVCD.

:・DA,DC,如三条线两两垂直，

如图，分别以的，DC,〃户所在直线为x轴、丁轴、z轴建立空间直角坐标系,

则力(2,0,0),6(2,4,0),

。(0,4,0),尸(