2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价一第一章空间向量与立体几何1.1.1.1空间向量的概念及其线性运算含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE一空间向量的概念及其线性运算(15分钟30分)1．下列命题中为真命题的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．将空间中全部的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【解析】选A.对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等．2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up6(→))B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→))D．2eq\o(MG,\s\up6(→))【解析】选B.eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋2eq\o(MG,\s\up6(→))＝3eq\o(MG,\s\up6(→)).3．如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AD,\s\up6(→))为()A．eq\f(1,2)(a＋b)－cB．eq\f(1,2)(c＋a)－bC．eq\f(1,2)(b＋c)－aD．a＋eq\f(1,2)(b＋c)【解析】选C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,2)(b＋c).4．如图所示，在三棱柱ABC­A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))与是________向量(用“相等”“相反”填空)，eq\o(AC,\s\up6(→))与是______向量(用“共面”“不共面”填空).【解析】依据三棱柱的性质，AC∥A′C′，AC＝A′C′，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与是相反向量，又AB∥A′B′，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与是共面对量．答案：相反共面5．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→)).【解析】因为M是D1D的中点，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,2)－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)c.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OA,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))【解析】选C.依据向量的加法、减法法则，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).2．设有四边形ABCD，O为空间随意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形【解析】选A.因为eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).所以AB∥DC且|AB|＝|DC|.所以四边形ABCD为平行四边形．【误区警示】解答本题易忽视线段平行而无法推断四边形的形态．3．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BM,\s\up6(→))可表示为()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c【解析】选A.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋＋＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c【解析】选A.由题意，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋＋＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋＋eq\f(1,2)＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.【补偿训练】平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，则下列式子中与相等的是()A．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cB．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c【解析】选A.因为平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，所以＝＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－c－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．已知λ，μ∈R，给出以下命题正确的是()A．λ<0，a≠0时，λa与a是相反向量B．λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量C．λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向肯定相同D．λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向肯定相反【解析】选BCD.λ<0，a≠0时，λa与a的方向相反，由于长度不肯定相等，故不肯定为相反向量，A不正确；由数乘的定义及性质可知BCD均正确．6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为的是()A．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋B．(＋)＋C．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＋D．(＋)＋【解析】选ABCD.依据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行推断．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋＝；(＋)＋＝＋＝；(eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＋1＝＋＝；(＋)＋＝＋＝．所以4个式子的运算结果都是．三、填空题(每小题5分，共10分)7．化简eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________．【解析】原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c8．已知点P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，则λ＝________．【解析】eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－3eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋(λ－1)eq\o(OC,\s\up6(→))，因为P，A，B，C四点共面，所以存在m，n∈R使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(BP,\s\up6(→))＋neq\o(CP,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2m－2n＝－3，,n＝1，,n（λ－1）＋mλ＝λ，))解得m＝eq\f(1,2)，n＝1，λ＝2.答案：2四、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，P，Q分别为四边形ABCD的对角线BD，AC的中点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，向量a，b不共线，试用a，b表示向量eq\o(PQ,\s\up6(→)).【解析】因为P，Q分别为四边形ABCD的对角线BD，AC的中点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，向量a，b不共线，设G为CD中点，连接QG，PG，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(GQ,\s\up6(→))，eq\o(GQ,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b.10.空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，求证：四边形EFGH为梯形．【证明】依据题意，因为eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)).又因为eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，①因为eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，又因为eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)).②由①②得eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))，且|eq\o(EH,\s\up6(→))|≠|eq\o(FG,\s\up6(→))|，又因为点F不在直线EH上，所以四边形EFGH为梯形．1．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))|＝________；|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))|＝________．【解析】取BD的中点H，连接AH，CH，因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，所以AH⊥BD，CH⊥BD，所以AH∩CH＝H，所以BD⊥平面ACH，因为AC⊂平面AHC，所以AC⊥BD，过C作CG∥BD使CG＝EF，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))，所以AC⊥CG且AC＝2，CG＝eq\f(1,2)BC＝1，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))|＝|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\r(5).因为点E，F分别为棱AB，AD的中点，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq