2025届高考数学统考一轮复习第十章选修系列选修4-5不等式选讲课时规范练文含解析北师大版

PAGE第十章选修系列选修4－5不等式选讲课时规范练1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.解析：当x＜－1时，原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，解得x≥－1，又因为x＜－1，故无解；当－1≤x≤1时，原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；当x＞1时，原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，解得x≤1，又因为x＞1，故无解；综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1，1]．2．若x∈[－1，1]，|y|≤eq\f(1,6)，|z|≤eq\f(1,9)，求证：|x＋2y－3z|≤eq\f(5,3).证明：因为x∈[－1，1]，|y|≤eq\f(1,6)，|z|≤eq\f(1,9)，所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(5,3)，所以|x＋2y－3z|≤eq\f(5,3)成立．3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.(1)求证：a2＋b2≥2；(2)求证：eq\r(\f(2,a)＋\f(1,b))≥1＋eq\f(\r(2),2).证明：(1)a2＋b2≥eq\f(1,2)(a＋b)2＝2.(2)因为eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(3,2)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(3,2)＋eq\r(2)＝eq\f(（2＋\r(2)）2,4)，当且仅当a＝4－2eq\r(2)，b＝2eq\r(2)－2时取等号，所以eq\r(\f(2,a)＋\f(1,b))≥1＋eq\f(\r(2),2).4．(2024·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤eq\f(1,3)，|2y＋1|≤eq\f(1,6)，求证：f(x)＜1.解析：(1)∵f(x)＜|x|＋1，∴|2x－1|＜|x|＋1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,2x－1＜x＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)，,1－2x＜x＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,1－2x＜－x＋1，))得eq\f(1,2)≤x＜2或0＜x＜eq\f(1,2)或无解．故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)＜1.故不等式f(x)＜1得证．5．已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；(2)若关于x的不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．解析：(1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,2x－1－2x－1≤1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,2)，,1－2x－2x－1≤1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)，,1－2x＋2x＋1≤1，))解得x≥eq\f(1,2)或－eq\f(1,4)≤x＜eq\f(1,2)，即x≥－eq\f(1,4)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|＜m有解，则m＞(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))时等号成立，故m＞2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．6．已知f(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋1＞f(2x)；(2)若f(m)≤1，f(2n)≤2，求|m－2n－1|的最大值，并求此时实数m，n的取值．解析：(1)原不等式等价于|x－2|＋1＞2|x－1|，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜1,2－x＋1＞2－2x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤2,2－x＋1＞2x－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞2,x－2＋1＞2x－2))，∴－1＜x＜1或1≤x＜eq\f(5,3)或∅，∴原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3))).(2)由题意得f(m)＝|m－2|≤1，f(2n)＝|2n－2|≤2，∴|n－1|≤1，∴|m－2n－1|＝|(m－2)－2(n－1)－1|≤|m－2|＋2|n－1|＋1≤4，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝2))时，|m－2n－1|取得最大值4.7．已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|.(1)若不等式f(x)≤|a＋1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)－|x＋2||＞3的解集．解析：(1)f(x)＝|x－1|－|x＋2|≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，由f(x)≤|a＋1|恒成立得|a＋1|≥3，即a＋1≥3或a＋1≤－3，得a≥2或a≤－4.∴a的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．(2)不等式|f(x)－|x＋2||＝||x－1|－2|x＋2||＞3等价于|x－1|－2|x＋2|＞3或|x－1|－2|x＋2|＜－3，令g(x)＝|x－1|－2|x＋2|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－5，x≥1,－3x－3，－2≤x＜1,x＋5，x＜－2)).由x＋5＝－3得x＝－8，由－3x－3＝－3得x＝0，作出g(x)的图像如图所示，由图可得原不等式的解集为{x|x＜－8或x＞0}．8．(2024·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x.由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．(2)由|x－a|＋3x≤0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,4x－a≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜a，,2x＋a≤0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x≤\f(a,4)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜a，,x≤－\f(a,2).))当a＞0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))