2025届高中数学统考第二轮专题复习第9讲数列等差数列与等比数列限时集训理含解析

第9讲数列、等差数列与等比数列基础过关1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,S3=3a3,则数列{an}的公比q= ()A.-12 B.C.1或-12 D.-1或2.若等差数列{an}的前15项和S15=30,则2a5-a6-a10+a14= ()A.2 B.3 C.4 D.53.已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n+λ(n∈N*),则λ的值为 ()A.-3 B.-1 C.1 D.34.在等比数列{an}中,a1=1,a6+a8a3+a5=1A.127 B.181 C.1243 5.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S9>S8”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了闻名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处起先与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当竞赛起先后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟领先他1米……所以阿基里斯恒久追不上乌龟.根据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时,乌龟爬行的总路程为 ()A.106-19000米 C.105-990米 7.已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则S9S3= A.3 B.6 C.9 D.128.已知Sn为数列{an}的前n项和,-2,an,6Sn成等差数列,若t=a1a2+a2a3+…+anan+1,则 (A.-18<t≤-124 B.-18<tC.-16<t≤-18 D.-16<t9.设无穷等差数列{an}的各项都为正数,且其前n项和为Sn,若S2024=2024,则下列推断错误的是 ()A.a1009=1 B.a1010≥1C.a2024>2024 D.a2024≥202410.已知点(n,an)(n∈N*)在函数y=lnx的图像上,若满意Sn=ea1+ea2+…+ean≥m的n的最小值为5,则A.(10,15] B.(-∞,15]C.(15,21] D.(-∞,21]11.已知数列{an}满意an+am=am+n(m,n∈N*)且a1=1,若[x]表示不超过x的最大整数,则数列a2n+35的前10项和为A.12 B.1135 C.24 D.12.已知等差数列{an}满意a52+a92=10,则a1+a2+a3+a4+a5的最大值为A.55 B.20 C.25 D.10013.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+a5+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=8,则S8= ()A.510 B.255 C.127 D.654014.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(-1)nan+12n,则S1+S3+S5=15.已知数列{an}中,a1=2,且对于随意正整数m,n都有am+n=aman,则数列{an}的通项公式是.

16.已知数列{an}为正项递增的等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则a20-a实力提升17.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an=Snn+2(n-1)(n∈N*),则nSn-2n2的最小值为 (A.-2 B.-1 C.23 D.18.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1(n≥2),则数列{an}的前99项和S99= ()A.3(950-1C.399-12 19.对于数列{an},若存在常数M,使得对随意n∈N*,an与an+1中至少有一个不小于M,则记作{an}ΔM,那么下列说法正确的是 (A.若{an}ΔM,则数列{an}的各项均大于或等于MB.若{an}ΔM,则{an2}ΔC.若{an}ΔM,{bn}ΔM,则{an+bn}Δ(2M)D.若{an}ΔM,则{2an+1}Δ(2M+1)20.设an=1nsinnπ25,Sn=a1+a2+…+an,则S1,S2,…,S100限时集训(九)1.C[解析]由S3=3a3,得a1+a2+a3=3a3,即a1+a2=2a3,所以a1+a1q=2a1q2,则2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12,故选C2.A[解析]由S15=152(a1+a15)=30,得a1+a15=4,∴2a8=4,∴a8=2,则2a5-a6-a10+a14=a4+a6-a6-a10+a14=a4-a10+a14=a10+a8-a10=a8=2.故选A3.B[解析]当n=1时,a1=S1=3+λ,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+λ)-(3n-1+λ)=2×3n-1,则a2=6,a3=18.因为{an}是等比数列,所以63+λ=186,解得λ=-1.4.C[解析]设等比数列{an}的公比为q,由a6+a8a3+a5=(a3+a5)q3a3+a5=q5.C[解析]设{an}的公比为q(q≠0),则S9-S8=a9=a1q8.若a1>0,则a1q8>0,即S9>S8;若S9>S8,则a1q8>0,即a1>0.故“a1>0”是“S9>S8”的充要条件,故选C.6.A[解析]由题意知,乌龟每次爬行的路程构成等比数列,设该数列为{an},公比为q,则a1=100,q=110,所以a6=10-3,所以乌龟爬行的总路程为S6=a1-a6q1-q=1007.C[解析]因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3·S27,即9(a1+a9)22=3(a1+a3)2×27(a1+a27)2,整理得a52=a2a14,所以(a1+4d)2=(a1+d)(a8.C[解析]因为-2,an,6Sn成等差数列,所以2an=6Sn-2,即an=3Sn-1①.当n=1时,a1=3S1-1,解得a1=12.当n≥2时,有an-1=3Sn-1-1②,由①-②得an-an-1=3an,即an=-12an-1,所以数列{an}是以12为首项,-12为公比的等比数列,故an=12×-12n-1=--12n,所以anan+1=-18×14n-1,故{anan+1}是首项为-18,公比为14的等比数列,所以t=a1a2+a2a3+…+anan+1=-18[1-(14)

n]1-14=-161-14n,因为n∈N*,所以-161-14n∈-16,9.C[解析]由S2024=2017(a1+a2017)2=2017×2a10092=2024a1009=2024,得a1009=1,故A中推断正确.∵无穷等差数列{an}的各项都为正数,∴公差d≥0,∴a1010≥1,故B中推断正确.S2024=2016(a1+a2016)2=1008(a1008+a1009)≤1008×2a1009=1008×2=2024,故C中推断错误.S2024=2019(10.A[解析]因为点(n,an)(n∈N*)在函数y=lnx的图像上,所以an=lnn,则ean=n,所以Sn=ea1+ea2+…+ean=1+2+…+n=n(n+1)2,因为满意Sn=ea1+ea2+…+ean≥m的n的最小值为5,所以S4<m≤S5,得11.C[解析]因为数列{an}满意an+am=am+n(m,n∈N*)且a1=1,所以an+1=an+a1=an+1,所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=1+(n-1)×1=n,则a2n+35=2n+35,所以数列a2n+35的前10项依次为1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,所以数列a2n+35的前10项和为1+1+1+2+2+12.C[解析]由a52+a92=10,可令a5=10cosα,a9=10sinα(α∈[0,2π)),因此公差d=104(sinα-cosα),则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5(a5-2d)=510cosα-2×104(sinα-cosα)=25cos(α+θ),其中tanθ=13,因为25cos(α+θ)≤25,所以a1+a2+a3+a4+a5的最大值为13.B[解析]由等比数列的性质可得a1a2a3=a23=8,解得a2=设{an}的公比为q,∵S2n=3(a1+a3+a5+…+a2n-1)(n∈N*),∴(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)=3(a1+a3+a5+…+a2n-1),得a2+a4+a6+…+a2n=2(a1+a3+a5+…+a2n-1),即a1q+a3q+a5q+…+a2n-1q=2(a1+a3+a5+…+a2n-1),得q=2,又a2=a1q,∴a1=1,∴S8=a1(1-q8)14.2164[解析]由题知Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)+12n(n≥2),若n为偶数,则Sn-1=12n(n≥2),∴Sk=12k+1(k=1,3,5,…),则S1+S3+S5=15.an=2n[解析]令m=1,得an+1=2an,故{an}是首项和公比均为2的等比数列,则an=216.25[解析]设{an}的公比为q,∵数列{an}为正项递增的等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,∴a1+a1q5=12,a1q17.B[解析]由题知,当n≥2时,Sn-Sn-1=Snn+2(n-1),整理得Snn-Sn-1n-1=2,即数列Snn是以1为首项,2为公差的等差数列,所以Snn=1+2(n-1)=2n-1,故Sn=2n2-n,所以nSn-2n2=2n3-3n2.令f(x)=2x3-3x2,x≥1,则f'(x)=6x2-6x=6x(x-1)≥0,故f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以数列nSn-2n2是一个递增数列,当18.B[解析]由an+1=2an+3an-1(n≥2)得an+1+an=2an+3an-1+an=3(an+an-1).∵a1+a2=3,∴数列{an+1+an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an+1+an=3n.由题意,设cn=an+1+an=3n,则S99=a1+a2+…+a99=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a98+a99)=a1+c2+c4+…+c98=1+32+34+…+398=1+32-31001-19.D[解析]对于A,在数列1,2,1,2,1,2,…中,存在M=1.5,{an}ΔM,数列{an}的各项均大于或等于M不成立,故A中说法不正确;对于B,在数列1,2,1,2,1,2,…中,存在M=-3,{an}ΔM,此时{an2}ΔM2不成立,故B中说法不正确;对于C,数列{an}为1,2,1,2,1,2,…,{bn}为2,1,2,1,2,1,…,存在M=1.6,{an}ΔM,{bn}ΔM,而{an+bn}的各项均为3,则{an+bn}Δ(2M)不成立,故C中说法