2024-2025学年新教材高中数学第4章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.2第2课时全概率公式贝叶斯公式课后素养落实含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE课后素养落实(十一)全概率公式、贝叶斯公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8．则甲正点到达目的地的概率为()A．0.72B．0.96C．0.86D．0.84C[设事务A表示甲正点到达目的地，事务B表示甲乘火车到达目的地，事务C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9．由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86．故选C．]2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为()A．0.8B．0.8325C．0.5325D．0.4825D[设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事务分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成样本空间的一个划分．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P(B)＝eq\o(∑,\s\up7(4),\s\do6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825．故选D．]3．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为eq\f(1,10)，eq\f(1,15)，eq\f(1,20)，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2A[以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝eq\f(5,10)，P(A2)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(2,10)，P(B|A1)＝eq\f(1,10)，P(B|A2)＝eq\f(1,15)，P(B|A3)＝eq\f(1,20)；则由全概率公式，所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,15)＋eq\f(2,10)×eq\f(1,20)＝0.08．]4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为eq\f(1,3)，而乱猜正确的概率为eq\f(2,3)．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，假如他答对了，则他的确知道正确答案的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．eq\f(1,4)B[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，由全概率公式：P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(eq\o(B,\s\up7(－)))P(A|eq\o(B,\s\up7(－)))＝eq\f(1,3)×1＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)．又由贝叶斯公式：P(B|A)＝eq\f(PBPA|B,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(2,3)．故选B．]5．某卡车为乡村小学运输书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发觉丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中随意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为()A．eq\f(2,9)B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,12)D．eq\f(5,8)B[用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝eq\o(∑,\s\up7(3),\s\do6(k＝1))P(Bk)P(A|Bk)＝eq\f(1,2)·eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,9))＋eq\f(1,5)·eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＋eq\f(3,10)·eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＝eq\f(8,36)．P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(\f(1,2)·\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,9)),PA)＝eq\f(3,36)÷eq\f(8,36)＝eq\f(3,8)．故选B．]二、填空题6．依据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事务“试验反应为阳性”，以C表示事务“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(C,\s\up7(－)))＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)＝0.005,则P(C|A)＝______．(精确到0.001)0.087[由题设，有P(eq\o(C,\s\up7(－)))＝1－P(C)＝0.995，P(A|eq\o(C,\s\up7(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(C,\s\up7(－)))＝0.05，由贝叶斯公式，得P(C|A)＝eq\f(PA|CPC,PA|CPC＋PA|\o(C,\s\up7(－))P\o(C,\s\up7(－)))≈0.087．]7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次竞赛时随意抽取3只，竞赛后仍放回原盒中；在其次次竞赛时同样地任取3只球，则其次次取出的3个球均为新球的概率为________．eq\f(528,5915)[设A＝“其次次取出的均为新球”，Bi＝“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i＝0,1,2,3)．由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,6),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,6),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,15))＝eq\f(528,5915)．]8．电报放射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为eq\f(2,5)，传送“–”时失真的概率为eq\f(1,3)，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．[答案]eq\f(3,4)三、解答题9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．[解](1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球和1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))×eq\f(0,C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(3,70)．(2)P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,\o(∑,\s\up7(3),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)＝eq\f(\f(1,70),\f(3,70))＝eq\f(1,3)．10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．[解]设A表示枪已校正，B表示射击中靶．则P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝eq\f(2,5)，P(B|A)＝0.9，P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝0.1，P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝0.4，P(eq\o(B,\s\up7(－))|eq\o(A,\s\up7(－)))＝0.6．(1)由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))·P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝eq\f(3,5)×0.9＋eq\f(2,5)×0.4＝0.7．(2)由贝叶斯公式可得P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(B,\s\up7(－)))＝eq\f(P\o(A,\s\up7(－))P\o(B,\s\up7(－))|\o(A,\s\up7(－)),P\o(A,\s\up7(－))P\o(B,\s\up7(－))|\o(A,\s\up7(－))＋PAP\o(B,\s\up7(－))|A)＝eq\f(\f(2,5)×0.6,\f(2,5)×0.6＋\f(3,5)×0.1)＝0.8．1．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则()A．随意一位病人有症状S的概率为0.02B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25ABC[P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，由全概率公式得P(S)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02．由贝叶斯公式得：P(D1|S)＝eq\f(PD1PS|D1,PS)＝eq\f(0.02×0.4,0.02)＝0.4，P(D2|S)＝eq\f(PD2PS|D2,PS)＝eq\f(0.05×0.18,0.02)＝0.45，P(D3|S)＝eq\f(PD3PS|D3,PS)＝eq\f(0.005×0.6,0.02)＝0.15．]2．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个整数，记为Y，则P(Y＝2)＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(7,12)C．eq\f(13,48)D．eq\f(3,4)C[由题意，知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq\f(1,4)．易得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝eq\f(1,2)，P(Y＝2|X＝3)＝eq\f(1,3)，P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4)，由全概率公式，可得P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)))＝eq\f(13,48)．]3．人们为了解一支股票将来肯定时期内价格的改变，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的改变．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%．依据阅历，人们估计，在利率下调的状况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的状况下，其价格上涨的概率为40%,则该支股票将上涨的概率为________．64%[记A为事务“利率下调”，那么eq\o(A,\s\up7(－))即为“利率不变”，记B为事务“股票价格上涨”．依题设知P(A)＝60%，P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝40%，于是P(B)＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝60%×80%＋40%×40%＝64%．]4．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18)．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中随意取出一个产品．(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)(1)0.083(2)0.287[(1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．三个厂的次品率分别为eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18)，∴P(A|B1)＝eq\f(1,10)，P(A|B2)＝eq\f(1,14)，P(A|B3)＝eq\f(1,18)．12箱产品中，甲占eq\f(6,12)，乙占eq\f(4,12)，丙占eq\f(2,12)，由全概率公式得P(A)＝eq\o(∑,\s\up7(3),\s\do6(k＝1))P(A|Bk)P(Bk)＝eq\f(6,12)×eq\f(1,10)＋eq\f(4,12)×eq\f(1,14)＋eq\f(2,12)×eq\f(1,18)≈0.083．(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时用贝叶斯公式：P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)≈eq\f(\f(4,12)×\f(1,14),0.083)≈0.287．]某人遗忘了电话号码的最终一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最终一位数字是奇数，那么此概率又是多少？[解]设Ai＝“第i次接通电话”，i＝1,2,3，B＝“拨号不超过3次接通电话”，则事务B的表达式为B＝A1∪(eq\o(A,\s\up7(－))1A2)∪(e