同步优化设计2024年高中数学第二章圆锥曲线3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

其次章圆锥曲线§3抛物线3.2抛物线的简洁几何性质课后篇巩固提升合格考达标练1.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为()A.14 B.-14 C.4 D.答案B解析由y=ax2,变形得x2=1ay,∵抛物线的准线方程是y=∴-14a=1,解得a=-2.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为()A.4 B.5 C.6 D.7答案A解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则P(3,±23),∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.3.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是(A.2 B.3 C.4 D.0答案B解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+所以当x=0时,z最小,其最小值为3.4.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为()A.18 B.24 C.36 D.48答案C解析不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),依题意,l⊥x轴,且焦点Fp2,0,∵当x=p2时,|y|=p∴|AB|=2p=12,∴p=6,又点P到直线AB的距离为p2+故S△ABP=12|AB|·p=12×12×6=5.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是()A.1 B.2 C.0 D.多数个答案B解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形答案6解析抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2,代入x23-y23=1得|x|=3+p24.要使△ABF为等边三角形,则tanπ7.抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是.答案43解析由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,∵直线AF的斜率为33,∴AF的倾斜角为30°.∵直线AH垂直于准线∴∠FAH=60°,故△AHF为等边三角形.设Am,m24,m>0,过F作FM⊥AH于点M,则在△FAM中,|AM|=12|AF|,∴m24-1=12m24+1,解得m=23,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,∴△AHF的面积是12×4×4sin8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M0,-p2,∵|AF|=3,∴y0+p2=∵|AM|=17,∴x02+y0+p22=∴x02=8,代入方程x02=28=2p3-p2,解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.等级考提升练9.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A.(6,+∞) B.[6,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)答案D解析∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,∴p2=3,即p=6又抛物线上的点到准线距离的最小值为p2∴抛物线上的点到准线距离的取值范围是[3,+∞).10.已知抛物线C的焦点是双曲线x2-y2=1的焦点中的一个,且顶点在原点,则抛物线C的标准方程是()A.y2=±22x B.y2=±2xC.y2=±4x D.y2=±42x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则p2所以p=22,所以抛物线方程为y2=±42x.故选D.11.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F12,0,所以x1+x2+x3=3×12=32,则|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=(x1+x2+x3)+32=312.过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=12x B.y2=-12xC.x2=-12y D.x2=12y答案D解析由已知条件,过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为483,则p的值为.

答案2解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴x12+y12=x22+y22∴x22-x12+2p(x即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.依据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=33x由y=33x,y2=2∴|OB|=(6p)2+∵△OAB的面积为483,∴34(43p)2=483,解得p2=4,∴p=214.已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上两点,若△AFB是等边三角形,则△AFB的边长为.

答案8+43或8-43解析由题意可知点A,B肯定关于x轴对称,且AF,BF与x轴夹角均为30°,由于y2=4x的焦点为(1,0),由y=33(x-1),y2=4x,化简得y2-43y-4=0,解得y所以△AFB的边长为8+43或8-43.新情境创新练15.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值;(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k(1)解依题意,设直线AB的方程为x=m