数值分析（课堂PPT）

1、1 2课程内容课程内容第一章第一章 数值数值计算中的误差计算中的误差第二章第二章 方程（组）的迭代解法方程（组）的迭代解法第三章第三章 解线性方程组的直接解法解线性方程组的直接解法第四章第四章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法第五章第五章 插值法插值法第六章第六章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分3第一章第一章 数值计算中的误差数值计算中的误差4本章内容本章内容1 计数与数值计数与数值2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字3 算术运算中的误差算术运算中的误差4 算法举例算法举例5 数值计算中的误差数值计算中的误差6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法52 舍入方法与有效

2、数字舍入方法与有效数字62 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差 近似数近似数a的的绝对误差绝对误差 ，设设a是精确值是精确值A的近似值，的近似值， =aA 绝对误差限绝对误差限 | |=|aA| (上界上界) 由上式可推知由上式可推知 a Aa+ ，也可表示为，也可表示为A=a a- - a+ + aA简称简称误差误差7 相对误差相对误差 ：绝对误差与精确值之比绝对误差与精确值之比 = /A。 实际计算实际计算 /a。代替后误差代替后误差21 AaAaAaaA 相对误差限相对误差限 | |=| /a | /|a| (上界上界) 绝对误差是有量纲的

3、量，相对误差没有量纲绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时有时亦用百分比、千分比表示。亦用百分比、千分比表示。2 舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差8例：例：计算绝对误差与相对误差计算绝对误差与相对误差 (1) a=0.3100*101 近似精确值近似精确值A=0.3000*101(2) a=0.3100*10-3近似精确值近似精确值 A=0.3000*10-3，解：解：(1) =0.1，(2) =0.1*10-4，2 舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差 =0.033=3.3% =0.033=3.3%9例：例：用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，用最小刻度为

4、毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙， 分别读出长度分别读出长度a=312mm和和b=24mm，问：问： (1) a、b的绝对误差限、相对误差限各是多少？的绝对误差限、相对误差限各是多少？ (2)两直杆实际长度两直杆实际长度x和和y在什么范围内？在什么范围内？mmbymm5 .24)(5 .23 解：解：mmba5 . 0)()( %16. 03125 . 0)()( aaa %08. 2245 . 0)()( bbb mmaxmm5 .312)(5 .311 2 舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差10 舍入方法舍入方法: 将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似将无限位字长的精确数处理成

5、有限位字长近似数的处理方法数的处理方法 A=a0 a1 am am+1 am+n am+n+1 高位部分高位部分低位部分低位部分表示成表示成 A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00 am+n+1 2 舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法n位位11取取a=a0 a1 am . am+1 am+n| | | | aA | 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 999. 0 . 0 0 1=110n 截断法截断法产生的绝对误差限不超过近似数产生的绝对误差限不超过近似数a最末位最末位的的1个单位。个单位。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法舍入方法

6、 2.2.1 截断法截断法n位位n-1位位 A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00 am+n+1 n位位n位位12 四舍情况，四舍情况， 当当am+n+1 =0,1,2,3,4时，时， 取取 a= a0 a1 am . am+1 am+n| | |aA| 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 499. 0 . 0 0 5=0.510-n0,1,2,3,42 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法n位位n位位绝对误差限绝对误差限 =0.510-n A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00

7、 am+n+1 n位位n位位13 五入情况五入情况当当am+n+1 =5,6,7,8,9时，时，取取 a= a0 a1 am . am+1 (am+n+1) |=| aA |= 0 . 0 0 1 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 1 0 . 0 0 50. = 0.510-n5,6,7,8,92 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法n-1位位n位位n位位n-1位位绝对误差限绝对误差限 =0.510-n A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00 am+n+1 n位位14 四舍五入到小数点后第四舍五入到小

8、数点后第n位的方法位的方法: | 0.510-n = 0.510-n 结论：结论：凡是由凡是由准确值准确值经过四舍五入而得到的近似经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法15 例：例：设设a=-2.18和和b=2.1200是分别由准确值是分别由准确值x和和y经过四舍五入而得到的近似值，问经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝的绝对误差限、相对误差限各是多少？对误差限、相对误差限各是多少？2105 . 0005. 0)(

9、a 解：解：4105 . 000005. 0)( b %23. 018. 2005. 0)()( aaa %0024. 01200. 200005. 0)()( bbb 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法16 定义定义：如果近似数：如果近似数x的绝对误差不超过某一位的绝对误差不超过某一位数字的半个单位，则称数字的半个单位，则称x准确到这一位准确到这一位； 从该位数字到第一位非零的所有数字均叫做从该位数字到第一位非零的所有数字均叫做有有效数字效数字； 若共有若共有n位数字，则称位数字，则称x具有具有n位位有效数字有效数字。 若近似数

10、若近似数x的绝对误差不超过最末一位的半个的绝对误差不超过最末一位的半个单位，则称单位，则称x为为有效数有效数。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字 推论推论1 对于给出的对于给出的有效数有效数，其绝对误差限不大于，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。其最末数字的半个单位。由准确值经过四舍五入得到的近似值是有效数。由准确值经过四舍五入得到的近似值是有效数。17 例：例：设设x*=2.40315是精确值是精确值x=2.40194的近似值，的近似值，则则x*有几位有效数字？有几位有效数字？2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字0. 5 1

11、0-2 解：解：|= |2.40315-2.40194|=0.00121x*有有3位有效数字。位有效数字。18)(001021|101021|nmmnaa 推论推论2 有效数的有效数的相对误差限为相对误差限为|.10101021|110 mmnaa )1(0105 nma有效数位越多，相对误差就越小有效数位越多，相对误差就越小。 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字 105有有效效数数字字位位数数第第一一位位非非零零数数字字 证明：证明： 令有效数令有效数A=a0 a1 am . am+1 am+n19 例：例：计算计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相，

12、问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于对误差限不大于0.01%？2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字解：解：Sin1.2=0.932039 设取设取n位有效数字位有效数字则：则：510-n/90.01% 10-n 1.4 10-4 n 4取取4位有效数字。位有效数字。20 注注1：从有效数从有效数x的最末位的最末位数字向左到数字向左到x的第一位非零数字的第一位非零数字均为有效数字。均为有效数字。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字由准确值经过四舍五入得到的近似值为有效数，从它的末由准确值经过四舍五入得到的近似值为有效数，从它的末位

13、数字到第一位非零数字都是有效数字。位数字到第一位非零数字都是有效数字。 例：例：x=1.315416876, 如果取作如果取作1.32，则有三位有效数字则有三位有效数字,误差限误差限0.005; 如果取作如果取作1.3154，则有五位有效数字则有五位有效数字,误差限为误差限为0.00005。 0.003529 0.00352900两个不同的有效数两个不同的有效数21 注注2：浮点数的有效数字由其定点部分的有效数位确定。浮点数的有效数字由其定点部分的有效数位确定。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字例：例：有效数有效数x=1510-5, 定点部分定点部分15有有2位

14、有效数字位有效数字 x有有2位有效数字位有效数字 误差限误差限 为为0. 5 10-5 相对误差限相对误差限 为为 有效数有效数y=7.83105 y有有3位有效数字位有效数字 5-5-1015105 . 0 ，误差限，误差限 为为0.005 105=0.5 103155 . 0 22 例：例：下列近似值的绝对误差限都是下列近似值的绝对误差限都是0.005: a=1.38，b=-0.0312，c=0.86 10-4 ，d=0.86 104 问：各个近似值有几个有效数字？问：各个近似值有几个有效数字？ 从小数点后第二位开始数起从小数点后第二位开始数起 解：解：a:n=3 (1,3,8)b:n=1

15、 (3)c:n=0（没有有效数字（没有有效数字）d:n=6（8,6,0,0,0,0）2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字23 注注3：若已知数若已知数x及其误差限及其误差限，要求要求确定其有效数位确定其有效数位并对并对x作舍入处理作舍入处理。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字将将 扩大成扩大成 0. 5 10-k，对对x舍入到小数点后舍入到小数点后k位。位。例：例：x=2.45648,其误差限其误差限 0.000789456。 0.000789456 0. 5 10-2 x= 2.45648 ，有，有3位有效数字。位有效数字。 舍入

16、处理为舍入处理为x= 2.46 。x= 2.46 不是有效数。不是有效数。其误差包含了舍入误差与原误差。其误差包含了舍入误差与原误差。24 注注4：若若要求近似要求近似数数x的误差限小于的误差限小于，确定确定x取几位有效取几位有效数字。数字。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 2.3 有效数字有效数字将将 缩小成缩小成0. 5 10-k ，对对x对应的精确数对应的精确数舍入到小舍入到小数点后数点后k位得到位得到x 。例：例：要求要求x的误差限小于的误差限小于 = 0.00045。 0. 5 10-4 0.00045x取至小数点后第取至小数点后第4位。位。25 2.1 绝对误差与相对误差绝

17、对误差与相对误差 设设A是精确值，是精确值，a是近似值，是近似值， 绝对误差绝对误差 =aA 绝对误差限绝对误差限 | |=|a-A| (上界上界) 相对误差相对误差 = /A 相对误差限相对误差限 = /|A| (上界上界) 绝对误差和相对误差有关系绝对误差和相对误差有关系 =a 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字小结小结26 2.2 舍入方法舍入方法 截断法截断法: 绝对误差限为最末位的绝对误差限为最末位的1个单位个单位 四舍五入法四舍五入法: 绝对误差限为末位的半个单位绝对误差限为末位的半个单位2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字小结小结27 我们希望所表示的数本身就能显示出它

18、的准确我们希望所表示的数本身就能显示出它的准确程度，于是引入程度，于是引入 2.3 有效数字有效数字反映绝对误差限反映绝对误差限 有效数的绝对误差限为最末数字的半个单位有效数的绝对误差限为最末数字的半个单位 由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字数字到第一位非零数字都是有效数字 在讲了有效数字之后，规定，在讲了有效数字之后，规定，所写出的数都应所写出的数都应该是四舍五入到最后一位有效数字位。该是四舍五入到最后一位有效数字位。2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字小结小结28本章内容本章内容 1 计数与数值计数与

19、数值 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 4 算法举例算法举例 5 数值计算中的误差数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法293 算术运算中的误差算术运算中的误差30vx*，y*为准确值，为准确值，x，y为其近似值为其近似值v绝对误差为：绝对误差为： x=x-x*， y=y-y*v绝对误差限为绝对误差限为: |x-x*| x , |y-y*| y vC=x y C=CC*= (x y) (x* y*) (x-x*) (y-y*)= x y | C| | x| + | y| x+ y 和差运算的绝对误差限为各数的绝对误差限之

20、和和差运算的绝对误差限为各数的绝对误差限之和。3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 加减运算加减运算 C31例例1.1： 求有效数求有效数285.35，196.87，58.43，4.96的和。的和。285.35285.35196.87196.8758.4358.43+) 4.96+) 4.96545.61545.61和和545.61545.61的绝对误差限为的绝对误差限为: :4(0.510-2)=0.02545.61545.61有有4 4位有效数字，舍入处理为位有效数字，舍入处理为545.6545.63 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 加减运算加减运算0.0532 3.15

21、0950 15.426463 568.3758+7684.388 8271.341213例例1.2: 求有效数求有效数3.150950，15.426463，568.3758， 7684.388的和。的和。 0.0000005 0.0000005 0.00005 + 0.0005 0.00055100.50.5* *1010- -2 2和和=8271.34=8271.34误差限误差限没有意义没有意义3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 加减运算加减运算33 3.150950 15.426463 568.3758+7684.388作舍入作舍入处理处理 和的绝对误差限为和的绝对误差限为 3*

22、(0.5*10-4)+0.5*10-3=0.000650.005 和和=8271.34 3.1510 15.4265 568.3758+7684.388 8271.34133 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.1 加减运算加减运算343 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.2 乘积运算乘积运算若多元函数若多元函数f在其定义域内的一点在其定义域内的一点(x1,x2, xn)可微，可微，则则f在该点的增量可表示为：在该点的增量可表示为：或或nnnnndxxfdxxfdxxfdfxxxxxfxxfxxff 2211222212211)( 353 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.2 乘积运

23、算乘积运算vx*,y*为准确值为准确值,x,y为其近似值为其近似值v绝对误差为绝对误差为: x=x-x*, y=y-y*v绝对误差限为绝对误差限为: |x-x*| x , |y-y*| y vC=xyvdC近似近似 C， dx x， dy y。 | C| |y| | x| +|x| y| |y| x+ |x| ydC=xdy+ydx C=y x+x yyxyyxxxyyxxyCCC 36 乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和；乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和； 乘积运算的相对误差限为各乘数相对误差限之和。乘积运算的相对误差限为各乘数相对误差限之和。3 算术运算中的误差算术运算中的误

24、差 3.2 乘积运算乘积运算 | C| |y| | x| +|x| y| |y| x+ |x| y C= x + y CyxyyxxxyxyyxCCC | C| =| x+ y| =| x|+| y| x + y37 商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对误差限之和。误差限之和。yxc 2yxdyydxdc yyxxyxyyxxyccc 2 |yyxxccc 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.3 商运算商运算2yyxxyc C= x + y38例例1.41.4：求有效数求有效数25.725.7和和3.63.6的商以及商的相对的商以及商的相对误差

25、限和绝对误差限。误差限和绝对误差限。解：解： C 0.05/25.7+0.05/3.6=0.016C=25.7/3.6=7.13889 C = 7.13889*0.016=0.110.53 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.3 商运算商运算25.7/3.6=7393 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.3 幂运算幂运算 幂运算的相对误差等于底数相对误差的指数倍幂运算的相对误差等于底数相对误差的指数倍 幂运算的相对误差限等于底数相对误差限的指数倍幂运算的相对误差限等于底数相对误差限的指数倍)1, 0( ppxcpdxpxdcp 1 xpxxpxxpxcccpp 1xpxcp 1| c|=p

26、| x|40(1) 误差与计算次数成正比误差与计算次数成正比简化计算步骤，减少运简化计算步骤，减少运算次数。算次数。例：例：计算多项式的值计算多项式的值 011.)(axaxaxPnnnn 如果改写为：如果改写为：0121).)(.()(aaaaxaxxxxPnnn 运算次数：运算次数：乘法：乘法：n+(n-1)+1=n(n+1)/2 加法：加法：n 运算次数：运算次数：乘法：乘法：n 加法：加法：n 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (1)减少运算次数减少运算次数秦九昭算法秦九昭算法(1247)(1247)Hernor(1819)Hern

27、or(1819)41(2) 防止大数吃小数的情况防止大数吃小数的情况数量级相同的先运算数量级相同的先运算在计算机内，在计算机内，做加法时，两加数的指数先向大指数做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。对齐，再将浮点部分相加。 10103 3(0.8961)(0.8961) 10 1033(0.4688)(0.4688) 对对 阶阶 10103 3(0.8961)(0.8961) 10 103 3(0.0000)004688(0.0000)004688可能结果：可能结果：a+b+c a+c+b例：例：a=1012，b=10，c=-a3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 运

28、算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (2) 防止大数吃小数防止大数吃小数42例如计算例如计算 采用采用3位浮点数的截断方式进行运算位浮点数的截断方式进行运算101.31211 y从左到右的次序计算得从左到右的次序计算得y=2.91=2.91从右到左的次序计算得从右到左的次序计算得y=2.93=2.93误差误差0.010.019 9误差误差0.000.001 1n避免这种情况避免这种情况, ,按绝对值从小到大的次序相加。按绝对值从小到大的次序相加。3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (2) 防止大数吃小数防止大数吃小数真值真值2 2. .9

29、2896825492896825443(3) 两个相近数相减，易失有效位两个相近数相减，易失有效位 两正数之差两正数之差 C=x-y的相对误差限是的相对误差限是 因为因为x和和y的前几位有效数字必然相同，相减之后有的前几位有效数字必然相同，相减之后有效数字位会大大减少，使有效数字严重损失效数字位会大大减少，使有效数字严重损失 例如：例如：cos20=0.9994，1 cos20=0.0006 避免这种情况，可以使用避免这种情况，可以使用转换公式转换公式；或者；或者增加增加字长字长，维持一定有效位，保证精度。，维持一定有效位，保证精度。yxyxyxC 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4

30、 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (3) 禁止相近数相减禁止相近数相减44(4)当当商运算的商运算的分母很小时，分母很小时，| |c| |可能很大可能很大xyccyxyxyxxyxc *1,商的真值商的真值)(000001. 01000001. 0 真值真值baC 1000000商的真值商的真值分子舍入误差分子舍入误差放大了放大了10106 6倍倍3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (4) 禁止除数过小禁止除数过小例：例：分母分母0.00000145 (5) 当分母为两个相近数相减时当分母为两个相近数相减时, ,会因有效数字会因有效

31、数字丧失而出现丧失而出现(4)的情况的情况)(100001. 0)(1455. 01456. 0)(4分子分子分子分子分子分子 这里分子的误这里分子的误差被扩大差被扩大10104 4倍倍3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方运算时需要注意的地方 (4) 禁止除数过小禁止除数过小46 在各种数学模型中在各种数学模型中, 它们的解与它们的解与x1,x2, ,xn有关有关,可以记为可以记为y=f(x1,x2,xn) 假定假定f在点在点(x1,x2,xn )可微，则当数据误差较可微，则当数据误差较小时，解的误差限可估计如下：小时，解的误差限可估计如下：),.,2,1(| |

32、 |11nixxfxxfiiniiiniii 其中其中nnnxxfxxfxxfxxxf |.|),.,(|221121Ai3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计 f47 解的相对误差限如下：解的相对误差限如下：iiniiiiiniinfxxfxxfxxfxxxf | ),.,(|1121Bi 公式仅当公式仅当 xi较小时才合宜较小时才合宜,否则否则 f或或f按按xi为线性迭加进行估计，实际为非线性变化为线性迭加进行估计，实际为非线性变化系数系数Ai、Bi的大小可以衡量解对数据误差的敏感程度的大小可以衡量解对数据误差的敏感程度3 算术运算中的误差算

33、术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计 f48%404.05.26088.1| VVV 例例 已知球体的直径已知球体的直径D=3.7cm, ,按按v= D3/6计算体计算体积，求其绝对误差限与相对误差限积，求其绝对误差限与相对误差限5.217.314.3212122 DDV DVDVV | 5 .267 . 314. 3613 V44. 87 . 3616133 DV 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计解：解：取取 =3.14 =0.0016 D =0.05取取310V=8.44 0.0016+21.5 0.05=1

34、.088549 例例 设设f(x,y)=cosy/x，x=1.30 0.005，y=0.871 0.0005，如果用如果用u*=f(1.30,0.871)作为作为f(x,y)的近似值，则的近似值，则u*有有几位有效数字？几位有效数字？3 算术运算中的误差算术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计数学问题解的误差估计解：解： u*=cos0.871/1.30=0.49543有有2位有效数字位有效数字0005. 030. 1871. 0sin005. 030. 1871. 0cos2 xyyfxyxfsincos2 =0.00220.00550本章内容本章内容 1 计数与数值计数与数值 2 舍

35、入方法与有效数字舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 4 算法举例算法举例 5 数值计算中的误差数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法514 算法举例算法举例52例例1.81.8 计算计算0135. 00125. 00003. 00012. 00143. 00005. 0 D解解: (1)算法算法1。分子分母分别计算后相除。分子分母分别计算后相除(取取9位小数位小数) A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入有舍入)B=0.0003*0.0125*0.0135=0.0000

36、0375*0.0135 =0.000000051(有舍入有舍入) A= B=0.510-9065. 00098. 00556. 0|1051105 . 0|109105 . 0|9999 D 1105 . 001. 017647. 0065. 0 DDD 取取D=0.24 算法举例算法举例D=A/B=0.17647下页下页53(2)算法算法2。分成三组因子。分成三组因子,每组只取六位小数计算每组只取六位小数计算a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入有舍入)b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012 / 0.0135=0.088889 (有舍入有舍入)D=

37、1. 666667* 1.144000* 0.088889=0.1694820135.00125.00003.00012.00143.00005.0 Dbca0000056. 0088889. 0105 . 00000003. 0666667. 1105 . 066 ca 4 算法举例算法举例 D= 0.0000003+0.0000056 =0.0000059 D= 0.169482 D =1.010-60.510-5上页上页取取D=0.16948真值为真值为0.1694814854例例1.91.9: : 试用试用5 5位有效数字及位有效数字及Taylor公式计算公式计算e-5.5的值的值 0

38、 1 1 1 -5.5000 -4.5000 2 15.125 10.625 3 -27.730 -17.105 4 38.446 17.528 5 -41.942 -20.918 6 38.446 17.528 7 -39.208 -12.680n!nxn nkkkx0!n 8 20.768 8.088 9 -12.692 -4.604010 6.9803 2.376311 -3.4902 -1.113912 1.5997 0.4858013 -0.67676 -0.1909614 0.26587 0.0749115 -0.097486 -0.022580!nxn nkkkx0!n16 0.

39、033510 0.01093017 -0.010842 0.00008818 0.0033127 0.003400719 -0.00095895 0.002441820 0.00026371 0.002705521 -0.000069067 0.002636422 0.000017268 0.002653723-0.0000041293 0.0026496!nxn nkkkx0!真实值是真实值是0.00408678*(0.5*10-3)=0.0040.5 *10-24 算法举例算法举例 0!kkxkxe55 改变算法计算例改变算法计算例1.9 先计算先计算x=5.5的部分级数的部分级数,再求倒

40、数再求倒数n!nxn nkkkx0!n1 5.500010 6.9809 12.692 2 15.1258 20.7683 27.730 7 30.2084 38.13 !nxn nkkkx0!n17 0.01084216 0.03351115 0.09748614 0.2658713 0.676760 1.000012 1.599711 3.4902!nxn nkkkx0!4 算法举例算法举例6 38.455 41.940.0108420.0443530.141840.407711.08452.08453.68427.174412.67419.65432.34647.47168.23995.

41、969126.18164.30202.74244.703 (0.510-6)+2(0.510-5)+2(0.510-4)+6(0.510-3)+2(0.510-2)0.024真实值是真实值是0.0040867商商1/ 244.70的值的值0.0040866367具有相对误差限具有相对误差限 |0/1+0.024/244.70=0.000098| |0.00408663670.0000980. 410-60.510-6 所以所以0.0040866367可以取为可以取为0.00408756p解决方法解决方法 (1)增加有效数位增加有效数位增加数值的有效数位至增加数值的有效数位至11位进行计算。位进

42、行计算。结果为结果为 x1=99999.999990 (正确）正确）, x2= 0.000010 (正确）正确） 例例1.10 :求二次方程求二次方程x2-105x+1=0的根的根解解：按二次方程求根公式及：按二次方程求根公式及8位有效数字计算，得位有效数字计算，得)(10210102410105551051好好 x)( 021010241010551052错错 x4 算法举例算法举例57 解决方法解决方法 (2)选择求根公式选择求根公式根据根据ax2+bx+c=0中中b的符号选择求根公式，的符号选择求根公式， aacbbsignbx24)(21 12axcx 00001.010115 =10

43、=105 54 算法举例算法举例 例例1.10 :求二次方程求二次方程x2-105x+1=0的根的根58 例例1.11：计算计算In=01xnex-1dx，n=0,7 解：解：算法算法1:用分部积分法可以推知用分部积分法可以推知In满足以下递推公式满足以下递推公式 In=1-nIn-1取取I0=01ex-1dx=ex-1|01 =1-e-10.6321逐次递推得逐次递推得I1,I2,I9。算法算法2: 按照公式按照公式In-1=(1-In) /n 取取I9 0.0684，反向计算得反向计算得I8,I7,I0。4 算法举例算法举例11)(max)(min110110101101 ndxxeIdx

44、xenenxxnnxx59算法算法1的误差：的误差：I0 与与I1的误差是的误差是I2的误差是的误差是2I3的误差是的误差是6I9的误差是的误差是9!算法算法2的误差：的误差：I9的误差是的误差是 I8的误差是的误差是/9I7 的误差是的误差是/9/8 I0 与与I1的误差的误差/9!舍入误差对计算结果舍入误差对计算结果影响小的算法称为影响小的算法称为稳稳定的算法定的算法,否则称为否则称为不不稳定的算法稳定的算法.In I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9算法算法10.0.632163210.360.367 79 90.2640.2642 20.200.207 74 40

45、.0.1 17047040.10.14 480800.0.1 11201200.0.21602160-0.7280-0.72807.5527.552算法算法20.0.6326321 10.360.367 79 90.26430.26430.20730.20730.17080.17080.14550.14550.1260.1268 80.1120.1121 10.10350.10350.06840.06844 算法举例算法举例 In=1-nIn-1In-1=1-In /n在大量计算中在大量计算中, ,舍入误差的舍入误差的积累和传播积累和传播, ,与算法有关。与算法有关。 舍入误差能控制在一定范舍

46、入误差能控制在一定范围内就是稳定的。围内就是稳定的。60 结论结论:计算中出现的舍入误差是不可避免的计算中出现的舍入误差是不可避免的 它直接影响到算法的数值稳定性，所以在数它直接影响到算法的数值稳定性，所以在数值方法的选择和设计中必须慎重考虑值方法的选择和设计中必须慎重考虑 大量数值运算中，有效数位流失是难免的大量数值运算中，有效数位流失是难免的 由于舍入误差估计的困难性，粗略的做法是由于舍入误差估计的困难性，粗略的做法是按照预定精度用多取若干位的数值计算按照预定精度用多取若干位的数值计算4 算法举例算法举例61本章内容本章内容 1 计数与数值计数与数值 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数

47、字 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 4 算法举例算法举例 5 数值计算中的误差数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法625 数值计算中的误差数值计算中的误差63数值方法解题的一般过程：数值方法解题的一般过程：1. 对于要解决的问题建立数学模型对于要解决的问题建立数学模型2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程3. 按照按照2进行计算，得到计算结果进行计算，得到计算结果建立数建立数学模型学模型转化为转化为数值公式数值公式进行计算进行计算5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类数值计算中的误差

48、种类？64数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类 1. 模型误差模型误差 2. 观测误差观测误差 3. 截断误差截断误差 4. 舍入误差舍入误差5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类65 数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述立起来的有关量的描述实际问题实际问题的真解的真解数学模型数学模型的真解的真解为减化模型忽略次为减化模型忽略次要因素要因素定理在特定定理在特定条件下建立条件下建立n例例 用用s(t)=gt2/2, g 9.81米米/秒秒2来描述自由落体下落时距离来描述自由落体下落

49、时距离和时间的关系。设自由落体在时间和时间的关系。设自由落体在时间t的实际下落距离为的实际下落距离为S*t , 则把则把S*t s(t)叫做模型误差叫做模型误差n模型误差模型误差(描述误差描述误差):实际问题的真解与数学模型的真实际问题的真解与数学模型的真解之间的误差解之间的误差5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类 5.1.1模型误差模型误差66 数学模型中的参数和原始数据，是由观测和数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的试验得到的 由于测量工具的精度、观测方法或客观条件由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制的限制,使数据含有测

50、量误差使数据含有测量误差,这类误差叫做这类误差叫做观观测误差或数据误差测误差或数据误差5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类 5.1.2观测误差观测误差67 求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近似的方法，那么得到的是数学模型的近似解，近似的方法，那么得到的是数学模型的近似解，由此产生的误差称为由此产生的误差称为截断误差截断误差精确公式用近似公式代替时精确公式用近似公式代替时,所产生的误差所产生的误差截断误差是数值计算中必须考虑的一类误差截断误差是数值计算中必须考虑的一类误差 例例一个无穷级数一个无穷级

51、数实际计算的时候，我们只能取前面有限项实际计算的时候，我们只能取前面有限项(如如n项项) 00)()(!1kkxfk nkkxfk00)()(!1 10)()(!1nkkxfk截断误差为截断误差为5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类数值计算中的误差种类 5.1.3截断误差截断误差68 由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差，这种误运算结果在计算机上存放会产生误差，这种误差称舍入误差。差称舍入误差。 例例 =3.14159265 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类数

52、值计算中的误差种类 5.1.4舍入误差舍入误差69 1. 数学模型的精确解数学模型的精确解 使用数学模型、使用数学模型、精确数据精确数据、精确计算、精确计算 2. 参数模型的精确解参数模型的精确解 使用数学模型、使用数学模型、观测数据观测数据、精确计算、精确计算 3. 计算模型的精确解计算模型的精确解 不能求解数学模型的精确解时，就不能求解数学模型的精确解时，就采用数采用数值的方法建立该数学模型的求解模型值的方法建立该数学模型的求解模型，称，称为为计算模型计算模型 使用使用计算模型计算模型、观测数据、精确计算所获、观测数据、精确计算所获得的解得的解 4. 计算模型的近似解计算模型的近似解 用计

53、算模型、用计算模型、有舍入的有舍入的观测数据、观测数据、近似计近似计算算获得的解获得的解方法误差方法误差(截断误差截断误差)舍舍入入误误差差5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.2 模型与解模型与解70 前面的舍入误差估计方法不足：前面的舍入误差估计方法不足： 只对运算量很少的情形适用只对运算量很少的情形适用 大规模的无有效的方法做出定量估计大规模的无有效的方法做出定量估计 5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性数学问题的适定性确保数值计算结果的正确性：确保数值计算结果的正确性：对数值计算问题进行定性分析对数值计算问题进行定性分析保证其舍入误差不会影响计算的精度保证

54、其舍入误差不会影响计算的精度71数学问题的适定性定义数学问题的适定性定义 设设D为为X=(x1, x2 , , xn)的值域，简记数学问题的值域，简记数学问题的解的解Y与参量（原始数据）与参量（原始数据）X的关系为的关系为Y=f(X)。若若1）对）对X D，数学问题的解存在且唯一；数学问题的解存在且唯一； 2）满足连续性条件，即当）满足连续性条件，即当|X|0时，有时，有|Y|0成立；成立； 则称则称该数学问题是适定的该数学问题是适定的； 反之，若数学问题的解多于一个，或者解不连续依反之，若数学问题的解多于一个，或者解不连续依赖于原始数据，则称为赖于原始数据，则称为不适定的不适定的5 数值计算

55、中的误差数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性数学问题的适定性72 “良态良态”问题和问题和“病态病态”问题问题 在适定的情况下，若对于原始数据很小的变在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化化，数学模型解的变化也很小，则称该数学数学模型解的变化也很小，则称该数学问题是问题是良态问题良态问题； 若原始数据很小的变化若原始数据很小的变化，数学模型解的变化数学模型解的变化很大，则称为很大，则称为病态问题病态问题 舍入误差对计算结果影响小的算法称为舍入误差对计算结果影响小的算法称为稳定的稳定的算法算法,否则称为否则称为不稳定的算法不稳定的算法. 数学问题的数学问题的性态性态是针对是针对数学数学问

56、题的；数值问题的；数值稳定稳定性是针对性是针对数值数值方法的方法的5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性数学问题的适定性73 稳定算法和不稳定算法稳定算法和不稳定算法真解真解参数模型精确解参数模型精确解( (良态良态) )计算模型近似解计算模型近似解( (稳定稳定) )计算模型近似解计算模型近似解( (不稳定不稳定) )5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性数学问题的适定性数学模型精确解数学模型精确解74 参数模型是病态的曲线图参数模型是病态的曲线图真解真解参数模型精确解参数模型精确解( (病态病态) )计算模型近似解计算模型近似解( (稳定稳定

57、) )计算模型近似解计算模型近似解( (不稳定不稳定) )数学模型精确解数学模型精确解5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性数学问题的适定性75 小结小结 数值计算中除了尽量避免数值计算中除了尽量避免误差危害误差危害外，还应要分清外，还应要分清问题是否问题是否病态病态和算法的数值和算法的数值稳定稳定性性误差的定性分析中首先要分清问题是否病态，误差的定性分析中首先要分清问题是否病态， 如果问题计算结果相对误差很大就是病态问题，对病态如果问题计算结果相对误差很大就是病态问题，对病态问题计算结果就可能不可靠，问题计算结果就可能不可靠， 对良态问题主要考虑算法的稳定性，对不稳定

58、的算法计对良态问题主要考虑算法的稳定性，对不稳定的算法计算结果也不可靠算结果也不可靠计算中还要根据以前给出的原则尽量避免舍入误差计算中还要根据以前给出的原则尽量避免舍入误差增长增长5 数值计算中的误差数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性数学问题的适定性76本章内容本章内容 1 计数与数值计数与数值 2 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差算术运算中的误差 4 算法举例算法举例 5 数值计算中的误差数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法776 误差分配原则误差分配原则 与处理方法与处理方法78 1.误差配置原理误差配置原理 计算模型的近似解

59、相对于参数模型精确解的总计算模型的近似解相对于参数模型精确解的总误差误差 =截断误差截断误差R+舍入误差舍入误差 1) R ,即舍入误差小于截断误差时即舍入误差小于截断误差时,总误差的总误差的主部取决于截断误差的主部主部取决于截断误差的主部;此时过多位字长此时过多位字长部分的计算工作量无意义部分的计算工作量无意义; (3) R ,此时此时,不会出现过多位字长和过多项部不会出现过多位字长和过多项部分计算量上的浪费现象分计算量上的浪费现象6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法 6.1误差分配原则误差分配原则791. 给定运算误差给定运算误差 ，确定参与运算的数值字长确定参与运算的数值字长 若计算公式表示为若计算公式表示为u=f(x1, x2 , , xn)，设设 xi的舍入误差为的舍入误差为 xi，则计算结果的舍入误差可，则计算结果的舍入误差可按下式近似计算按下式近似计算,) |( 1 niixf niixf1|解得解得6 误差分配原则与处理方法误差分配原则与处理方法 6.2误差配置的处理方法误差配置的处理方法假设所有的运算量的舍入误差相同均为假设所有的运算量的舍入误差相同均为 ，则，则iniixxfd