均值定理课件

（1）若a>0，则

；（2）若a>0且b>0，则

；（3）用比较法证明不等式的步骤：①

；②

；③

。知识准备作差计算（与0作比较）下结论第1页/共21页Ⅰ.探索与研究

一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同。问哪个正方形的面积大？S=abC=2(a+b)(1)(2)1、分析问题：第2页/共21页第一个正方形的面积是ab,可得边长为

。第二个正方形的周长为2(a+b)，边长为

。第3页/共21页

我们要比较两个正方形面积的大小，只需要比较两个正方形的边长哪个长。

对于两个正实数a、b，我们把叫做a与b的，把叫做a与b的。2、概念几何平均值算术平均值第4页/共21页由于对任意实数a、b,有因此≥等号成立？第5页/共21页

两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有≥等号成立当且仅当a=b.这个结论通常称为3.结论均值定理第6页/共21页当且仅当a=b时，等号成立。第7页/共21页应用例1

(1)已知a>0,b>0,且ab=36,求a+b的最小值.（2）已知a>0,b>0,且a+b=6,求ab的最大值.第8页/共21页2、中,当a，b相加和为定值时，你又能得出什么结论？答：ab有最大值。问题：1、中,当a，b相乘积是一个定值时，你能得出什么结论？答：a+b有最小值。积为定值，和有最小值和为定值，积有最大值第9页/共21页例2.已知x>0,求的最小值。解：因为x>0,由均值定理知当且仅当x=时,即x=1时等号成立所以有最小值为2。(一正)(二定)(三相等)(结论)第10页/共21页练习:已知x>0,求的最小值。解：因为x>0,由均值定理知当且仅当27x=时，x=时等号成立有最小值为6。所以(一正)(二定)(三相等)(结论)第11页/共21页课堂练习（1）已知a>0,b>0,且a+b=10,求ab的最大值.(2)已知a>0,b>0,且ab=12,求a+b的最小值.（3）已知a>0,b>0,且2a+b=8,求ab的最大值.(4)已知a>0,b>0,且ab=3,求4a+3b的最小值.（5）设0<x<3，求x（3-x）的最大值；(6)设a>0,求的最小值25812第12页/共21页

例3.(1)已知x>0,求的最小值。

求的最大值。(2)已知x>0,(3)已知x>3,求的最小值.注意:1:用均值定理求最值时常数可以先不考虑;2:用添项拆项消去乘积的x是一种常用技巧.第13页/共21页例4.(1)已知0<x<4,求x(4-x)的最大值。(2)已知0<x<,求x(1-3x)的最大值。注意:用配系数使和消去x又是常用的技巧.

可用逆推法去凑系数.第14页/共21页练习1:若a>0,求2a+的最小值.2:若0<x<,求x(1-2x)的最大值.3:若x>0,求的最大值.4:若x>-1,求的最小值.第15页/共21页

求的最小值，并求出相应的x值。思考题：第16页/共21页Ⅲ小结：一正：函数式中各项必须都是正数;二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是

定值；三相等：等号成立条件必须存在.均值定理必须满足：第17页/共21页2、为了围成一个面积为49cm的矩形小框，至少要用多长的铁丝？演练反馈1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？第18页/共21页解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm。

答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积最大，达到25。演练1答案等号成立当且仅当时,由已知条件得，x+y=。据均值定理得

此时达到最大值5，从而达到最大值25.第19页/共21页

解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm。答：至少要用28cm长的铁丝。

等号成立当且仅当x=y=