【整合学案】11.4.2　平面与平面垂直

高中数学精选资源2/211.4.2学习目标核心素养1.了解二面角、面面垂直的定义．(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养.2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.1．二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分通称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.图示平面角定义在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角图示符号OAα，OBβ，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0，π]规定二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为α­l­β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P­l­Q.2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．(3)面面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l⊂α))⇒α⊥β(4)面面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m))⇒a⊥β图形语言思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示]相交或平行．1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD[因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又因为AD平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.]2．如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABCB[由图可知PD平面ABC，PD与平面ABC也不平行，故A、D错误；△ABP中，PA＝PB，AD＝DB，则PD⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC＝AB，PD平面PAB，所以PD⊥平面ABC，故B正确．C错误．]3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面垂直[因为BD⊥AC，BD⊥C1C且AC∩C1C＝C所以BD⊥平面AA1C因为BD平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，二面角C1­BD­C的大小为________．30°[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD中点，所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1­BD­C的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝eq\r(2)，可以计算出C1O＝2eq\r(2)，所以sin∠C1OC＝eq\f(C1C,C1O)＝eq\f(1,2).所以∠C1OC＝30°.]二面角的求解【例1】如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E­BD­C的大小．[思路探究]求二面角E­BD­C的大小⇒先作出二面角的平面角，再计算．[解]因为E为SC的中点，且SB＝BC，所以BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC为二面角E­BD­C的平面角．设SA＝AB＝1，在△ABC中，因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角E­BD­C为60°.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角α­m­β的平面角．1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B[解]取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C所以BO⊥A1C所以∠BOB1即是二面角B­A1C1­B1因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).所以二面角B­A1C1­B1的正切值为eq\r(2).平面与平面垂直的判定【例2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求证：(1)直线DE∥平面A1C(2)平面B1DE⊥平面A1C[证明](1)因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，又因为A1C1面A1C1F，且DE平面A1C1F(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，所以A1C1⊥B1D，又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F，又因为B1D平面B1证明面面垂直的两个方法及实质(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，说明这两个平面互相垂直．(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．2．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE.(2)证明：平面BDE⊥平面PBC.[证明](1)连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又因为E为PC中点，所以OE为△PAC的中位线，所以PA∥OE，又因为OE平面BDE，PA平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC，又因为PD＝DC，E为PC中点，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC.面面垂直性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.[思路探究](1)eq\x(菱形ABCD，∠DAB＝60°)→eq\x(△ABD为正三角形)→eq\x(BG⊥AD)eq\o(→,\s\up8(面PAD⊥底面ABCD))eq\x(BG⊥平面PAD)(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．[证明](1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB平面PBG，∴AD⊥PB.1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用(1)证明直线与平面垂直．(2)证明直线与直线平行．(3)作平面的垂线．2．应用性质定理证线面垂直的关键一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．3.如图所示，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明]因为平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC，因为VA平面VAC.所以平面VBC⊥平面VAC.垂直关系的综合应用[探究问题]1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？[提示]因为PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，因为AD平面ABCD，DC平面ABCD，且AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD.2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝eq\f(1,3)DB，点C为圆O上一点，且BC＝eq\r(3)AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.[提示]连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD.【例4】如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究](1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.[证明](1)因为AD∥BC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.又因为BC∥AD，所以MN∥BC.又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．所以MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.所以四边形DENM为平行四边形．所以EN∥DM，且EN平面PDC，DM平面PDC.所以EN∥平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD.又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB平面PBE，所以AD⊥PB.又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB.且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB平面PBC.所以平面PBC⊥平面ADMN.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．4．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC.[证明](1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.1．二面角(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．3．垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面． ()(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面