云南省昆明市部分学校高三下学期二模考试数学试题

高三数学考试（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.1 C. D.i【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法结合虚数单位的性质，即可求得答案.【详解】由题意得，故选：C2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的并集与补集运算即可.【详解】因为，所以，又，所以．故选：D.3.已知直线与圆相交于两点，若，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】先计算直线到圆心的距离，然后根据勾股定理得到，从而代入条件即可解出，从而得到.【详解】如图所示：设坐标原点到直线的距离为，则.设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.由，得，故，解得，故.故选：B.4.高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（）A.65 B.75 C.85 D.95【答案】C【解析】【分析】先利用各矩形的面积之和为1，求得，再利用第75百分位数的定义求解.【详解】因为，所以．参赛成绩位于内的频率为，第75百分位数在内，设为，则，解得，即第75百分位数为85，故选：C．5.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）A.e B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案.【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立．令，则在上恒成立，所以在区间上单调递减，所以，故．故选：D.6.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出棱锥高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积.【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，因为，由勾股定理得，故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，设内切球的半径为，则由等体积法可得，解得，所以．故选：A7.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据垂直关系可得，根据数量积可得，进而得在椭圆上，即可化简求解.【详解】连接，依题意可得，所以，所以，所以，所以，则的坐标为，所以，即，可得，化简得，解得，即．故选：A8.甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（）A.342 B.390 C.402 D.462【答案】B【解析】【分析】先分组再分配，先将人分成组，有、、三种分组可能，结合条件甲、乙两人不去同一景区游览，每种情况都先求出所有游览方法总数，减去甲乙去同一景区方法总数，三种情况再求和即可.【详解】去三个不同景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为；②1，2，3型，则不同种数；③2，2，2型，则不同种数为．所以共有种.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.B.C.在上单调递减D.的图象向左平移个单位长度后关于轴对称【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的对称性求得，即可求出，代入求值判断A，利用对称性判断B，代入验证法判断C，根据平移变换法则求得新函数解析式，利用偶函数性质判断D.【详解】由题意函数的图象的一条对称轴方程为，所以，所以，因为，所以，即.对于A，，错误；对于B，因为，所以图象的一个对称中心为，即，正确；对于C，当时，，所以在上单调递减，C正确；对于D，的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，显然是偶函数，其图象关于轴对称，D正确.故选：BCD10.在中，为的中点，点在线段上，且，将以直线为轴顺时针转一周围成一个圆锥，为底面圆上一点，满足，则（）A.B.在上的投影向量是C.直线与直线所成角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】【分析】根据弧长求出，即可判断A选项；观察投影向量即可判断选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可判断C、D选项.【详解】旋转一周后所得圆锥的顶点为，底面圆心为，半径，所以圆的周长为，所以所对的圆心角为，A正确；易知B正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，所以，C错误．设平面的法向量为，则令，则．设直线与平面所成的角为，则，D正确.故选：ABD11.已知非常数函数的定义域为，且，则（）A. B.或C.是上的增函数 D.是上的增函数【答案】AC【解析】【分析】A.令判断；B.令，分别令，判断；CD.由，令判断.【详解】解：在中，令，得，即．因为函数为非常数函数，所以，A正确．令，则．令，则，①令，则，②由①②，解得，从而，B错误．令，则，即，因为，所以，所以C正确，D错误．故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用数量积的坐标运算求得，，再根据数量积运算求解即可.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，解得.故答案为：13.在中，内角所对的边分别为，若成等比数列，且，则_______，_______．【答案】①.##②.##0.5【解析】【分析】将用正弦定理化为，再用即可解出，从而求出；然后由成等比数列知，利用得到，即可根据的值得到的值.【详解】因为，由正弦定理知，所以有：．故，即，从而，所以．因为成等比数列，所以，从而．故答案为：；.14.已知双曲线左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出的关系即可作答.【详解】根据题意画出图象如下：由得，又，所以，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，所以在中，，由余弦定理得，即，化简得，即，解得或，因为，所以.则双曲线的渐近线方程为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是等差数列，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，且，求的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意列式求出公差，即可求得答案；（2）由累加法可求出，即可求得，利用裂项相消法求和，即得答案.【小问1详解】因为成等比数列，所以，解得．又是等差数列，，所以公差，故.【小问2详解】由，得，所以,又,当时，,又也适合上式，所以,则,所以.16.如图，在直三棱柱中，已知.（1）当时，证明：平面.（2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，则利用中位线性质得，再利用线面平行证明平面；（2）建立空间直角坐标系，计算出所求平面的法向量，利用公式法求出平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】当时，为的中点，连接，交于点，连接，可知是的中位线，所以.又平面平面，所以平面.【小问2详解】易知两两垂直，以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，当时，，.设平面的法向量为，则，令，得.易知为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则.17.为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.【答案】（1）分布列见解析，（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由见解析【解析】【分析】（1）求出随机变量的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出分布列和数学期望；（2）先求出，然后根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小即可解答.【小问1详解】设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，则.依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.，，.随机变量的分布列为012所以.【小问2详解】若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下：．若第一次借阅“期刊杂志”，则．若第一次借阅“文献书籍”，则．因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.18.已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.（1）求抛物线的方程.（2）证明：（3）设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用焦半径公式求得，即可求解抛物线方程；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理利用根与系数的关系求解即可；（3）由得，结合（2）的韦达定理得，从而求得，从而面积之比转化为的值.【小问1详解】设，易知，准线方程为，所以.当时，取得最小值，由，解得.所以抛物线的方程为.【小问2详解】设直线与轴交于点，因为直线的斜率显然不为0，所以设直线的方程为，联立，消去得，所以，所以，同理可得，所以.【小问3详解】因为，所以，即.因为，所以，即，所以，由（2）知，所以，故，所以，即，化简得，解得或，若，则，这与矛盾，所以，所以.19.已知函数.（1）判断的单调性；（2）当时，求函数的零点个数.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递减（2）2【解析】【分析】（1）求导函数，，利用导数研究函数的单调性，进而求得，从而求出的单调区间；（2）把问题转化的零点问题，利用导数判断出的单调性，先判断在上不存在零点，再判断在上存在零点，最后判断在上存在零点，即可求解.【小问1详解】函数的定义域为.令，则.当时，单调递增，当时，单调递减，所以，