11-12全等图形与全等三角形

1.11.2全等图形与全等三角形【推本溯源】1.观察下面图片，会发现什么？图片中的图案形状、大小都相同。2.全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形。一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.3.观察下面两个三角形，可以发现什么？这两个三角形是全等图形。4.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.对应顶点，对应边，对应角定义：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.注：如上图：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.5.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.注：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等几何语言：∵△ABC≌△DEF∴AB=DEBC=EFAC=DF（边）∠A=∠D∠B=∠E，∠C=∠F。【解惑】例1：下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得．【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等图形，熟记定义是解题关键例2：如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________．【答案】/度/度126【分析】先根据四边形内角和定理求出，再根据全等图形的性质求解即可．【详解】解：∵在四边形中，∴，∵四边形与四边形全等，∴由图可知，故答案为：；；12；6．【点睛】本题主要考查了全等图形的性质，四边形内角和定理，熟知全等图形对应角相等，对应边相等是解题的关键．例3：如图，沿直角边所在直线向右平移到，则下列结论中，错误的是（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以与的形状和大小完全相同，即，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：∵沿直角边所在直线向右平移到，∴，∴，，∴B，C，D正确不符合题意，A错误符合题意．故选：A．【点睛】本题考查平移的性质，全等三角形的性质．解答本题的关键是应用平移的基本性质．例4：如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．【详解】解：如图，则，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．例5：如图，在矩形中，cm，cm，点从点B出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为____________时，与全等．【答案】2或【分析】设运动时间为t，根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当，时；②当，时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．【详解】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，①当，时，，，，，，解得：，，，解得：；②当，时，，解得：，解得：；综上所述，当或时，，故答案为：2或．【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，列出方程是解题关键．【摩拳擦掌】1．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对选择项进行验证可得答案．【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；②如果面积相同而形状不同也不全等；③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确．所以只有1个正确，故选A．【点睛】本题考查了全等形的概念，做题时要根据定义进行验证．2．（2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个正方形是全等图形C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形D．两个全等图形的面积一定相等【答案】D【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等图形的性质和定义，掌握全等图形的性质和定义是解题的关键．3．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，将两张全等的矩形（非正方形）纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出（

）A．图形①与③的周长和 B．图形②与③的周长差C．图形①与③的周长差 D．图形②与③的周长和【答案】D【分析】根据题意设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，用字母分别表示出图形①、②、③、⑤的周长，进行计算即可得出正确的选项．【详解】解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，图形①的周长为，图形②的周长，图形③的周长，图形⑤的周长为，∴图形①与图形③的周长和，故A选项不符合题意；∴图形②与图形③的周长差，故选项B不符合题意；图形①与③的周长差，故选项C不符合题意；图形②与③的周长和，即图形②与③的周长和为图形⑤的周长的2倍，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查整式混合运算的应用,还考查了全等图形的性质，解题的关键是用字母表示出各个图形的周长．4．（2023春·全国·七年级专题练习）对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（

）A．边长相等的图形 B．面积相等的图形C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形【答案】D【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；C.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；D.能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了全等形的识别，熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键．5.（2023春·七年级课时练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝__________．【答案】【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到．【详解】解：根据题意得：所以,故答案为：【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为______cm．【答案】【分析】根据全等图形的性质即可求解．【详解】∵图形与四边形全等的6个四边形拼成的图形∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键．7．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．【答案】【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接、，，，，由图可知，在和中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．8．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中，__________度．【答案】【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解．【详解】解：如图，在与中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，根据网格的特点可知，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键．9．（2021秋·北京西城·八年级校考期中）作图题将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．【答案】见解析【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．【详解】解：如图所示，（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．10．（2022秋·八年级课时练习）下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来．【答案】①⑧全等；②⑪全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩⑫⑭全等；⑦⑬全等【分析】根据全等图形的定义：全等图形，形状大小都相同，即可进行解答．【详解】解：根据题意得：全等的图形有：①⑧全等；②⑪全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩⑫⑭全等；⑦⑬全等．【点睛】本体主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．形状大小都相同的图形是全等图形．11．（2023·江苏·八年级假期作业）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．【答案】见解析【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．12．（2023·江苏·八年级假期作业）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【答案】见解析（第一个图答案不唯一）【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．【详解】解：第一个图形分割有如下几种：第二个图形的分割如下：【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．【知不足】1．（2023秋·七年级单元测试）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④【答案】A【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（

）A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8【答案】B【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有．【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以，故选：B．【点睛】本题考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边．3．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）下列图形中，是全等图形的是（

）A．，，， B．与 C．，， D．与【答案】D【分析】根据全等图形的定义即可判定．【详解】能够完全重合的两个平面图形，叫全等图形．由图可知，与是全等图形．故选：D．【点睛】本题考查全等图形的定义，熟知定义并仔细观察图形是解题的关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，，，，，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理求出，则．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．5．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动速度为，它们运动的时间为（s）（当点运动结束时，点运动随之结束），当点，运动到某处时，有与全等，此时______.

【答案】或【分析】分两种情况解决：①若，则；②若,则，建立方程求得答案即可．【详解】解：分两种情况：①若，则，可得，解得：，②若,则，，解得．故答案为或．6．（2022秋·江苏淮安·八年级校考期末）已知，若，，则________°．【答案】/度【分析】根据全等的性质得，再在中，根据三角形内角和定理即可求得的度数，再根据全等即可求出答案．【详解】解：，，在中，，．又，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质，对应角相等．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，，且，，则__________度．

【答案】113【分析】根据全等三角形的性质得可得，再根据三角形外角的性质可得，最后再次运用三角形外角的性质即可解答．【详解】解：∵，∴，在中，∠，在中，．故答案为：113．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．8．（2023·浙江台州·统考一模）如图，，点在边上，延长交边于点，若，则______．

【答案】/145度【分析】根据可得，再由三角形内角和得到，利用邻补角定义求出即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和以及邻补角定义，解答关键是在全等三角形性质基础上灵活运用数形结合思想．9．（2023·江苏·八年级假期作业）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．【答案】见解析【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可．【详解】依题意，如图【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键．10．（2020春·七年级课时练习）如图所示，请你把下列梯形分成四个全等的四边形．【答案】证明见解析．【分析】这两个梯形都是比较特殊的梯形，一个是直角梯形，一个是等腰梯形，因为要分为四个全等的四边形，因此分得的四个四边形与原梯形的形状是一样的，只是各相应的边长变为原来相应边长的一半，据此进行分割即可得．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查了对全等图形的认识，能正确地观察和分析所给图形的特点是解决此类问题的关键．11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，，写出图中的对应边和对应角．

【答案】和是对应边，和和是对应边，和是对应角，和，和是对应角【分析】根据全等三角形的性质可得结论．【详解】解：∵，，∴和是对应边，和和是对应边，和是对应角，和，和是对应角．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是找准对应顶点．12．（2023秋·八年级课时练习）如图，，，三点在同一条直线上，且．(1)求证：；(2)当满足什么条件时，？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)当时，．理由见解析【分析】（1）由得出，再进行相应等量代换；（2）当时，．由，得出，，若，则，因而，所以，进而，从而得证．【详解】（1）证明：，，，．（2）解：当时，．理由如下：，．，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定及三角形内角和定理；根据全等的条件，得出等角及等量线段，进行相应的等量代换是解题的关键．【一览众山小】1．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，，的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，得出，根据，，得出，求出，根据，求出结果即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，求出．2．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（

）

A．3 B．7 C．8 D．以上都不对【答案】B【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果．【详解】解：∵，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，∴，∵∴.故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形找出对应边．3．（2022春·七年级单元测试）如图，，，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可．【详解】∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，图中的两个三角形全等，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先由三角形内角和定理求得，再由全等三角形的性质得到答案即可．【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，故选：B【点睛】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．5．（2022秋·八年级单元测试）如图，若，，，则的长度是______________．

【答案】【分析】根据全等三角形的性质得出，进而得出，根据已知条件即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋·八年级单元测试）如图，，并且，，则______，_______．

【答案】5/38度【分析】根据全等三角形的性质即可得到结果．【详解】解：∵，∴，，．∴．故答案为：5；【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．7．（2023秋·八年级课时练习）如图，，且，，则的度数为______．【答案】/度【分析】先根据平行线的性质得到，再由全等三角形的性质即可得到．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．8．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F．(1)当，时，求线段AE的长；(2)已知，，求与的度数．【答案】(1)3(2)，【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案；(2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9．（2023秋·广西防城港·八年级统考期末）如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上．(1)求证：；(2)若，，求边的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由全等三角形的性质可得，等号两边同时减去即可得到；（2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围．【详解】（1）证明：，，，；（2）解：，，，在中，，，即．【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．10．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动，运动时间为．(1)用含t的代数式表示线段，；(2)若点P，Q同时出发，经过多少秒钟后与是否全等？求出此时t的值及Q点的运动速度；(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿△