2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练38空间图形的基本关系与公理

课时分层训练(三十八)空间图形的基本关系与公理(对应学生用书第254页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．① B．①④C．②③ D．③④A[显然命题①正确．由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．]2．(2018·秦皇岛模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直 B．相交C．异面 D．平行D[∵mα，nα，且A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交于点A，∴m和n异面或相交，一定不平行．]3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定D[如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．因此l1与l4的位置关系不能确定．]4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()【A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,7)B[连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).]5．(2018·泰安模拟)如图7­3­9，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点图7­3­9A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A1，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面D[连结A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝∴三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，∴C1，M，O三点共线，∴选项A、B、C均正确，选项D错误．]二、填空题6.如图7­3­10所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1图7­3­10①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)【导学号：00090244】③④[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]7.(2017·佛山模拟)如图7­3­11所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC 点，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．图7­3­1160°[取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，AE＝eq\f(3,2)，故∠AB1E＝60°.]8．(2017·邵阳模拟)如图7­3­12是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，图7­3­12①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②③④[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]三、解答题9.如图7­3­13所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C 点．问：图7­3­13(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.【导学号：00090245】[解](1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1. 2分又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线. 5分(2)直线D1B和CC1是异面直线. 6分理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，所以D1，B，C，C1∈α， 10分这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线. 12分10．如图7­3­14所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：图7­3­14(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3). 5分(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角). 8分在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4). 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．下图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是() 【导学号：00090246】D[在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，所以P，Q，R，S共面；在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；D图中PS与QR为异面直线，所以P，Q，R，S四点不共面．]2.如图7­3­15，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且 AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．图7­3­15eq\f(\r(3),6)[取DE的中点H，连接HF，GH. 由题设，HF綊eq\f(1,2)AD，∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠GFH＝eq\f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(6)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).]3．已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．[解]如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点， 则PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)．则∠MPN＝60°或∠M